פונקציה מעריכית · חקירה · תרגול מדורג

תרגול חקירת פונקציה מעריכית

כל מה שלמדנו על חקירת פונקציה מעריכית בבסיס e - תחום ההגדרה (כל x), אסימפטוטה אופקית לפי ההתנהגות ב-∞ שלילי (לרוב y = 0), נגזרת בכלל המכפלה או השרשרת, נקודות קיצון מ-f'(x) = 0 (כי eˣ > 0 תמיד), ומבחן סימן שקובע מינימום או מקסימום - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד חקירה מלאה ואיתור טעות. זכרו את הסדר: תחום ← אסימפטוטה ← נגזרת ← קיצון ← סקיצה.

מעבדת החקירה - בחרו את הערך הנכון בכל שורה בחרו את הנכון - נגזרת, מקום הקיצון, אסימפטוטה או ערך

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: תחום (כל x), אסימפטוטה אופקית לפי ההתנהגות ב-∞ שלילי, נגזרת בכלל המכפלה או השרשרת, ואז f'(x) = 0 לקיצון (כי eˣ תמיד חיובי). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תחום · אסימפטוטה · נגזרת · קיצון

איפה eˣ מנצח את x? בפונקציה f(x) = x·eˣ נפגשים שני כוחות: x שמושך מטה, ו-eˣ שדועך מהר שמאלה. כאשר x שואף ל-∞ שלילי הדעיכה מנצחת והגרף נצמד לאסימפטוטה אופקית y = 0; ובדרך יש נקודה שבה f'(x) = 0 - מינימום ב-(-1, -1/e ≈ -0.37). נזכיר כאן את שלבי החקירה, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירה מעריכית - תזכורת

נזכר שוב במפה: בכל חקירה של פונקציה מעריכית נפגשים אותם מרכיבים - תחום ההגדרה (כל x), אסימפטוטה אופקית y = 0 שאליה הגרף שואף כאשר x שואף ל-∞ שלילי, ונקודת קיצון שבה f'(x) = 0. הנה התמונה המלאה על הדוגמה f(x) = x·eˣ, שנגזרתה f'(x) = (1 + x)eˣ מתאפסת ב-x = -1 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

f(x) = x·eˣ - אסימפטוטה אופקית y = 0, מינימום ב-(-1, -1/e ≈ -0.37)

תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה שלבים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציה מעריכית של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מתחום ההגדרה והאסימפטוטה האופקית, דרך הנגזרת בכלל המכפלה/שרשרת ופתרון f'(x) = 0, ועד מבחן הסימן והסקיצה. ואז לתרגול המדורג.

תחום ההגדרה

הפונקציה המעריכית eˣ מוגדרת לכל מספר, ולכן מכפלה כמו f(x) = x·eˣ מוגדרת גם היא לכל x. אין ערכים אסורים - בשונה מפונקציה רציונלית.

אסימפטוטה אופקית

בודקים את ההתנהגות ב-∞ שלילי. עבור f(x) = x·eˣ, כאשר x שואף ל-∞ שלילי הדעיכה של eˣ חזקה יותר, ולכן f(x) שואף ל-0 - אסימפטוטה אופקית y = 0.

נגזרת בכלל המכפלה/שרשרת

גוזרים (u·v)' = u'v + uv'. ל-f(x) = x·eˣ: f'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)eˣ. בכלל השרשרת (e^u)' = u'·e^u, וזכרו ש-(eˣ)' = eˣ.

נקודות קיצון

פותרים f'(x) = 0. מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, האיפוס תלוי רק בגורם הפולינומי: ל-x·eˣ נקבל 1 + x = 0 ונותן x = -1.

מבחן סימן וסוג הקיצון

בודקים את סימן f'(x) משני צדי נקודת האיפוס: ירידה ואז עלייה פירושן מינימום, עלייה ואז ירידה פירושן מקסימום. ל-x·eˣ משמאל ל--1 יורדת, מימין עולה - מינימום.

סקיצה

מחברים את הכול: תחום (כל x), אסימפטוטה אופקית y = 0, נקודת הקיצון ותחומי העלייה והירידה - ומציירים סקיצה שמכבדת את כולם.

f(x) = x·eˣ

מינימום ב-(-1, -1/e), אסימפטוטה אופקית y = 0

f(x) = e^-x²

מקסימום ב-(0, 1), אסימפטוטה אופקית y = 0

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון חקירת פונקציה ב-4 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: תחום, אסימפטוטה אופקית ב-∞ שלילי, גזירה (כלל המכפלה או השרשרת), פתרון f'(x) = 0, ומבחן סימן. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1f(x) = x·eˣ

תחום ואסימפטוטה אופקית: מוגדרת לכל x. כאשר x שואף ל-∞ שלילי מתקיים x·eˣ שואף ל-0, ולכן אסימפטוטה אופקית y = 0.
גוזרים בכלל המכפלה: עם u = x, v = eˣ: f'(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)eˣ.
פותרים f'(x)=0: eˣ > 0 תמיד, ולכן 1 + x = 0 ונותן x = -1.
נקודת המינימום היא (-1, -1/e ≈ -0.37) (כי f(-1) = -1·e⁻¹ = -1/e).

דוגמה 2f(x) = (x - 2)eˣ

תחום ואסימפטוטה אופקית: מוגדרת לכל x. כאשר x שואף ל-∞ שלילי מתקיים (x - 2)eˣ שואף ל-0, ולכן אסימפטוטה אופקית y = 0.
גוזרים בכלל המכפלה: f'(x) = 1·eˣ + (x - 2)eˣ = (x - 1)eˣ.
פותרים f'(x)=0: eˣ > 0, ולכן x - 1 = 0 ונותן x = 1.
נקודת המינימום היא (1, -e ≈ -2.72) (כי f(1) = (1 - 2)·e = -e).

דוגמה 3f(x) = e^-x²

תחום ואסימפטוטה אופקית: מוגדרת לכל x. כאשר x שואף לאינסוף (בשני הכיוונים) מתקיים -x² שואף ל-∞ שלילי ולכן e^-x² שואף ל-0 - אסימפטוטה אופקית y = 0.
גוזרים בכלל השרשרת: עם u = -x², u' = -2x: f'(x) = u'·e^u = -2x·e^-x².
פותרים f'(x)=0: e^-x² > 0, ולכן -2x = 0 ונותן x = 0.
נקודת המקסימום היא (0, 1) (כי f(0) = e⁰ = 1).

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חקירת פונקציה מעריכית

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום, אסימפטוטה, הצבה ונגזרת ישירה; גזירה בכלל המכפלה/שרשרת ומציאת קיצון; חקירה רב-שלבית עם מבחן סימן וערכי קיצון; ועד שאלת בגרות מלאה ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (תחום, אסימפטוטה ב-∞ שלילי, נגזרת, ו-f'(x) = 0 כי eˣ > 0), והתשובות המספריות יוצאות נקיות או מעוגלות לפי ההנחיה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה" שמחזירה תחום, נגזרת, אסימפטוטה, נקודות קיצון וסוגן לכל f(x) = (ax² + bx + c)·eˣ. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1תחום: פונקציה מעריכית בבסיס e מוגדרת לכל x.
2אסימפטוטה אופקית: לפי ההתנהגות ב-∞ שלילי - לרוב y = 0.
3נגזרת: (eˣ)' = eˣ, ובכלל המכפלה/שרשרת (e^u)' = u'·e^u.
4קיצון: eˣ > 0 תמיד, ולכן f'(x) = 0 תלוי רק בגורם הפולינומי.
5סקיצה: מחברים תחום, אסימפטוטה, קיצון ומבחן סימן.

מפתח פתרונות (תרגול)