חשבון אינטגרלי · בסיס e · תרגול מדורג

תרגול אינטגרל ושטח מעריכי

כל מה שלמדנו על האינטגרל והשטח בבסיס e - הפונקציה הקדומה ∫eˣdx = eˣ + c, המקדם בחזקה ∫e^axdx = e^ax/a + c, האינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) והשטח בין הגרף לציר x - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאינטגרל ישיר ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. זכרו את השיטה: כותבים פונקציה קדומה, מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון, מחסרים, ומקבלים את השטח.

מעבדת השטח - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הפונקציה הקדומה, האינטגרל או השטח הנכון

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. השיטה קבועה: כותבים פונקציה קדומה, מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון, ומחסרים - ∫eˣdx = eˣ + c, ∫e^axdx = e^ax/a + c, ומכיוון ש-eˣ > 0 השטח שווה לאינטגרל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה".

כמה שטח כלוא מתחת ל-eˣ? נניח שרוצים את השטח בין הגרף של f(x) = eˣ לציר x, מ-x = 0 עד x = 1. הכלל של האינטגרל המסוים אומר: מצא פונקציה קדומה, הצב גבול עליון, הצב גבול תחתון, וחסֵר. הפונקציה הקדומה של eˣ היא eˣ, ולכן השטח הוא e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718. השיטה כאן בקצרה, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של שטח מעריכי - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: השטח בין f(x) = eˣ לציר x מ-a עד b שווה לאינטגרל המסוים ∫ₐᵇ eˣ dx = F(b) - F(a), עם הפונקציה הקדומה F(x) = eˣ. מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון וזוכרים e⁰ = 1. הנה המפה המלאה - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול:

∫₀¹ eˣ dx = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718 - השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1

תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה עקרונות שנותנים שליטה מלאה באינטגרל ובשטח של פונקציות מעריכיות בבסיס e של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משתי נוסחאות הקדומה, דרך האינטגרל המסוים והשטח, ועד הצבת הגבולות עם מקדם בחזקה. עברו עליהם, ואז לתרגול המדורג.

הפונקציה הקדומה של eˣ

הנגזרת של eˣ היא eˣ, ולכן גם הפונקציה הקדומה שלה היא eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c. זו העובדה שכל השאר נבנה עליה.

אינטגרל של e^ax

כשיש מקדם a בחזקה מחלקים בו: ∫e^axdx = e^ax/a + c. למשל ∫e^2xdx = e^2x/2 + c. בדיקה: הנגזרת של e^2x/2 היא 2·e^2x/2 = e^2x.

אינטגרל מסוים

אינטגרל עם גבולות מחזיר מספר: מציבים בפונקציה הקדומה גבול עליון פחות גבול תחתון - ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). הגבולות "נבלעים" והתוצאה היא ערך מספרי אחד.

שטח בין הגרף לציר x

מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, הגרף כולו מעל הציר, והשטח הכלוא בין f(x) = eˣ לציר x מ-a עד b שווה בדיוק ל-∫ₐᵇ eˣ dx. מ-0 עד 1 זה e - 1 ≈ 1.718.

הצבת הגבולות

הצבה מסודרת מונעת שגיאות: כתבו את הפונקציה הקדומה, החליפו x ב-b, אחר כך ב-a, וחסרו. ל-∫₀¹ eˣdx: e¹ - e⁰ = e - 1, כי e⁰ = 1.

מקדם בחזקה בגבולות

מחברים את שני העקרונות: ∫₀¹ e^2xdx = [e^2x/2]₀¹ = e²/2 - e⁰/2 = (e² - 1)/2 ≈ 3.195. קודם הפונקציה הקדומה עם החלוקה ב-a, ואז הצבת הגבולות.

e - 1 ≈ 1.718

שטח קטן יותר - גבול עליון קרוב, e - 1 ≈ 1.718

e² - 1 ≈ 6.389

שטח גדול יותר - גבול עליון רחוק, e² - 1 ≈ 6.389

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון אינטגרל ושטח ב-4 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: פונקציה קדומה, הצבת גבול עליון, הצבת גבול תחתון, חיסור. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1∫₀¹ eˣ dx

פונקציה קדומה: ∫eˣdx = eˣ + c, ולכן F(x) = eˣ.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) - F(0) = e¹ - e⁰.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן התוצאה היא e - 1.
השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1 הוא e - 1 ≈ 1.718.

דוגמה 2∫₀¹ e^2x dx

פונקציה קדומה עם מקדם בחזקה: ∫e^2xdx = e^2x/2 + c, ולכן F(x) = e^2x/2.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) - F(0) = e²/2 - e⁰/2.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן e²/2 - 12 = (e² - 1)/2.
התוצאה היא (e² - 1)/2 ≈ 3.195.

דוגמה 3∫₀¹ e^-x dx

פונקציה קדומה: כאן a = -1, לכן ∫e^-xdx = e^-x/(-1) + c = -e^-x + c ו-F(x) = -e^-x.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) - F(0) = -e^-1 - (-e⁰) = -1/e + 1.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן התוצאה היא 1 - 1/e.
השטח בין e^-x לציר x מ-0 עד 1 הוא 1 - 1/e ≈ 0.632.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - אינטגרל ושטח מעריכי

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קדומה, e⁰ ואינטגרל מסוים בסיסי; מקדם בחזקה, שטח מעריכי ו-e^-x; הצבת גבולות, ביטוי סימבולי והשוואת שטחים; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על ששת העקרונות שבכרטיסיות התזכורת, והתשובות המספריות מבוקשות עם עיגול מפורש (שלוש ספרות) או נופלות על ערכים מדויקים ונקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח" שמחשבת פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים ושטח. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1קדומה של eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c.
2מקדם בחזקה: ∫e^axdx = e^ax/a + c.
3אינטגרל מסוים: F(b) - F(a) - גבול עליון פחות תחתון.
4שטח: מכיוון ש-eˣ > 0, השטח שווה לאינטגרל.
5דוגמה: ∫₀¹ eˣ dx = e - 1 ≈ 1.718.

מפתח פתרונות (תרגול)