אינטגרל ושטח

השטח מתחת לגרף המעריכי - צעד אחר צעד

הפונקציה הקדומה של eˣ היא eˣ עצמה: ∫eˣdx = eˣ + c, ולפי מקדם בחזקה ∫e^axdx = e^ax/a + c. כדי למצוא את השטח בין הגרף לציר x מציבים את הגבולות בפונקציה הקדומה ומחסרים. גררו את הגבולות במעבדה וצפו כיצד השטח המוצלל וערך האינטגרל משתנים בזמן אמת.

מעבדת השטח גררו את הגבולות a ו-b וצפו בשטח המוצלל ובערך האינטגרל

f(x) = eₓ

גבול תחתון 0 גבול עליון 1 שטח = 1.718

גבול תחתון a0

גבול עליון b1

כמה שטח כלוא מתחת ל-eˣ? נניח שאנחנו רוצים את השטח בין הגרף של f(x) = eˣ לציר x, מ-x = 0 עד x = 1. הכלל של האינטגרל המסוים אומר: מצא פונקציה קדומה, הצב את הגבול העליון, הצב את הגבול התחתון, וחסֵר. הפונקציה הקדומה של eˣ היא eˣ, ולכן השטח הוא e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.718. מספר אחד תופס את כל השטח הכלוא - זה הכוח של האינטגרל.

מבט מקרוב

האנטומיה של שטח מעריכי

בגרף אחד נפגשים כל מרכיבי החישוב: העקומה f(x) = eˣ, שני הגבולות x = 0 ו-x = 1, והשטח המוצלל שביניהם לציר x. הפונקציה הקדומה F(x) = eˣ נותנת את הכל: מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון, F(1) − F(0) = e − 1. הנה המפה על הדוגמה:

∫₀¹ eˣ dx = e¹ − e⁰ = e − 1 ≈ 1.718 - השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1

נכיר צעד אחר צעד

ששת עקרונות האינטגרל המעריכי

שישה עקרונות שנותנים שליטה מלאה באינטגרל ובשטח של פונקציות מעריכיות בבסיס e, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. עברו עליהם לפי הסדר - כל עקרון מזין את הבא - ותוך כדי קריאה גררו את הגבולות במעבדה שלמעלה וצפו כיצד השטח וערך האינטגרל נבנים.

הפונקציה הקדומה של eˣ

הנגזרת של eˣ היא eˣ, ולכן גם הפונקציה הקדומה שלה היא eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c. זו העובדה שכל השאר נבנה עליה.

אינטגרל של e^ax

כשיש מקדם a בחזקה מחלקים בו: ∫e^axdx = e^ax/a + c. לדוגמה ∫e^2xdx = e^2x/2 + c. בדיקה: הנגזרת של e^2x/2 היא 2·e^2x/2 = e^2x.

אינטגרל מסוים

אינטגרל עם גבולות מחזיר מספר: מציבים בפונקציה הקדומה גבול עליון פחות גבול תחתון - ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a). הגבולות "נבלעים" והתוצאה היא ערך מספרי אחד.

שטח בין הגרף לציר x

מכיוון ש-eˣ > 0 תמיד, הגרף כולו מעל הציר, והשטח הכלוא בין f(x) = eˣ לציר x מ-a עד b שווה בדיוק ל-∫ₐᵇ eˣ dx. מ-0 עד 1 זה e − 1 ≈ 1.718.

הצבת הגבולות

הצבה מסודרת מונעת שגיאות: כתבו את הפונקציה הקדומה, החליפו x ב-b, אחר כך ב-a, וחסרו. ל-∫₀¹ eˣdx: e¹ − e⁰ = e − 1, כי e⁰ = 1.

מקדם בחזקה בגבולות

מחברים את שני העקרונות: ∫₀¹ e^2xdx = [e^2x/2]₀¹ = e²/2 − e⁰/2 = (e² − 1)/2 ≈ 3.195. קודם הפונקציה הקדומה עם החלוקה ב-a, ואז הצבת הגבולות.

e − 1 ≈ 1.718

שטח קטן - גבולות צמודים, e − 1 ≈ 1.718

e² − 1 ≈ 6.389

שטח גדול - גבול עליון רחוק, e² − 1 ≈ 6.389

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון אינטגרל ושטח ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: פונקציה קדומה, הצבת גבול עליון, הצבת גבול תחתון, חיסור.

דוגמה 1∫₀¹ eˣ dx

פונקציה קדומה: ∫eˣdx = eˣ + c, ולכן F(x) = eˣ.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) − F(0) = e¹ − e⁰.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן התוצאה היא e − 1.
השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1 הוא e − 1 ≈ 1.718.

דוגמה 2∫₀¹ e^2x dx

פונקציה קדומה עם מקדם בחזקה: ∫e^2xdx = e^2x/2 + c, ולכן F(x) = e^2x/2.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) − F(0) = e²/2 − e⁰/2.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן e²/2 − 12 = (e² − 1)/2.
התוצאה היא (e² − 1)/2 ≈ 3.195.

דוגמה 3∫₀¹ e^−x dx

פונקציה קדומה: כאן a = −1, לכן ∫e^−xdx = e^−x/(−1) + c = −e^−x + c ו-F(x) = −e^−x.
מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) − F(0) = −e⁻¹ − (−e⁰) = −1/e + 1.
מפשטים: e⁰ = 1, ולכן התוצאה היא 1 − 1/e.
השטח בין e^−x לציר x מ-0 עד 1 הוא 1 − 1/e ≈ 0.632.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (פונקציה קדומה והצבת גבולות פשוטים), יישום (מקדם בחזקה ושטח מעריכי), ורמת בגרות (חישוב שטח רב-שלבי בין גבולות). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1קדומה של eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c.
2מקדם בחזקה: ∫e^axdx = e^ax/a + c.
3אינטגרל מסוים: F(b) − F(a) - גבול עליון פחות תחתון.
4שטח: מכיוון ש-eˣ > 0, השטח שווה לאינטגרל.
5דוגמה: ∫₀¹ eˣ dx = e − 1 ≈ 1.718.

מפתח פתרונות (תרגול)