תרגול חזקות ולוגריתמים
2³ = 8 שואל "כמה זה שתיים בשלישית". log₂8 = 3 שואל את השאלה ההפוכה: "לאיזו חזקה צריך להעלות 2 כדי לקבל 8". שתי הפונקציות y = aˣ ו-y = logₐx הן הפוכות זו לזו, וגרפיהן משוקפים ביחס לישר y = x. כאן נבנה את כל היסודות - חוקי חזקות ולוגריתמים, משוואות ואי-שוויונות, וטרנספורמציות - לפני שנפגוש את המספר e ואת הנגזרות.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה. זכרו: logₐb = x פירושו aˣ = b; חיבור לוגריתמים הוא לוגריתם של מכפלה, חיסור הוא לוגריתם של מנה, ומעריך יורד קדימה כמקדם; מעריך רציונלי הוא שורש; ובאי-שוויון לוגריתמי מוסיפים תמיד את תחום ההגדרה. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". logₐb = x ⟵ aˣ = b · log(x·y) = log x + log y · log(xⁿ) = n·log x
איך פותרים 2ˣ = 8? כאן קל לנחש: x = 3. אבל מה עם 2ˣ = 10? אין חזקה שלמה שנותנת 10, ובכל זאת התשובה קיימת ונמצאת בין 3 ל-4. הלוגריתם הוא בדיוק המספר הזה: log₂10. זו לא המצאה חדשה אלא שם לפעולה ההפוכה של חזקה, בדיוק כפי ששורש הוא הפעולה ההפוכה של העלאה בריבוע. בדף הזה נבנה את השפה הזאת מהיסוד: חוקי חזקות, הגדרת הלוגריתם, חוקי הלוגריתמים, פתרון משוואות ואי-שוויונות, וטרנספורמציות של שתי הפונקציות.
האנטומיה של הזוג ההפוך
שתי הפונקציות חולקות בסיס אחד ומחליפות תפקידים. y = aˣ מוגדרת לכל x, ערכיה תמיד חיוביים, יש לה אסימפטוטה y = 0, והיא עוברת תמיד בנקודה (0, 1) כי a⁰ = 1. y = logₐx מוגדרת רק ל-x > 0, ערכיה כל המספרים, יש לה אסימפטוטה x = 0, והיא עוברת תמיד ב-(1, 0) כי logₐ1 = 0. הנה המפה עבור הבסיס a = 2:
הכללים שנתרגל
שישה מושגים שמכסים את בלוק קדם האנליזה המעריכי-לוגריתמי של כיתה י״ב ברמת 4 יח״ל. גררו את הבסיס במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, ושימו לב מתי הפונקציות עולות ומתי יורדות.
חוקי חזקות
aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ · aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ · (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ · a⁰ = 1 · a⁻ⁿ = 1aⁿ. גם מעריך רציונלי נכלל: am/n = ⁿaᵐ, למשל 813 = 2 ו-2723 = 9.
הגדרת הלוגריתם
logₐb = x ⟵ aˣ = b, כאשר a > 0, a ≠ 1 ו-b > 0. שתי תוצאות מיידיות: logₐ1 = 0 (כי a⁰ = 1) ו-logₐa = 1. שימו לב לתנאי b > 0 - אין לוגריתם למספר שלילי או לאפס.
חוקי הלוגריתמים
מכפלה נעשית לחיבור: logₐ(x·y) = logₐx + logₐy. מנה נעשית לחיסור: logₐxy = logₐx - logₐy. חזקה יורדת קדימה: logₐ(xⁿ) = n · logₐx. למשל log₂8 + log₂4 = 3 + 2 = 5 = log₂32.
הפונקציות ותכונותיהן
f(x) = aˣ: תחום כל x, טווח y > 0, אסימפטוטה y = 0, עוברת ב-(0, 1). f(x) = logₐx: תחום x > 0, אסימפטוטה x = 0, עוברת ב-(1, 0). שתיהן עולות כאשר a > 1, ושתיהן יורדות כאשר 0 < a < 1.
משוואות ואי-שוויונות
במשוואה מעריכית משווים בסיסים: 3x+1 = 27 = 3³ ⟵ x + 1 = 3 ⟵ x = 2. באי-שוויון הכיוון תלוי בבסיס: כאשר a > 1 הכיוון נשמר (2ˣ > 8 ⟵ x > 3), וכאשר 0 < a < 1 הכיוון מתהפך. באי-שוויון לוגריתמי אל תשכחו את תחום ההגדרה: log₂x < 3 נותן 0 < x < 8.
טרנספורמציות
אותן פעולות שהכרתם בקדם אנליזה של כיתה י׳ פועלות גם כאן: aˣ + q מזיז אנכית (וגם את האסימפטוטה, שהופכת ל-y = q), ax−p מזיז אופקית, -aˣ משקף ביחס לציר ה-x, c · aˣ מותח או מכווץ, ו-|f(x)| מקפל למעלה. ב-logₐ(x - p) ההזזה מזיזה גם את האסימפטוטה ל-x = p.
דוגמאות מהירות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד. השיטה חוזרת: מתרגמים בין חזקה ללוגריתם, מאחדים בעזרת חוקי הלוגריתמים, ובאי-שוויון בודקים קודם את הבסיס ואת תחום ההגדרה.
- משווים בסיסים: 27 = 3³, ולכן המשוואה היא 3x + 1 = 3³.
- הפונקציה המעריכית חד-חד-ערכית: אם הבסיסים שווים אז גם המעריכים שווים, כלומר x + 1 = 3.
- פותרים: x = 2.
- x = 2. בדיקה: 32+1 = 3³ = 27.
- חוק המכפלה: logₐx + logₐy = logₐ(x·y), ולכן הביטוי שווה ל-log₂(8 · 4) = log₂32.
- מחשבים ישירות: 2⁵ = 32, ולכן log₂32 = 5.
- בדיקה בדרך השנייה: log₂8 = 3 ו-log₂4 = 2, וסכומם 5.
- log₂8 + log₂4 = log₂32 = 5. שתי הדרכים נותנות אותה תוצאה, כפי שמבטיח חוק המכפלה.
- קודם תחום ההגדרה: לוגריתם מוגדר רק למספר חיובי, ולכן x > 0. זה תנאי שאסור לשכוח.
- מתרגמים את הצד הימני: 3 = log₂8, ולכן האי-שוויון הוא log₂x < log₂8.
- הבסיס גדול מ-1: הפונקציה עולה, ולכן כיוון האי-שוויון נשמר: x < 8.
- משלבים את שני התנאים: 0 < x < 8. תלמיד ששכח את תחום ההגדרה היה כותב רק x < 8 ומכניס לתשובה מספרים שליליים.
24 שאלות מדורגות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חוקי חזקות והגדרת הלוגריתם; חוקי הלוגריתמים; משוואות ותכונות הפונקציות; ועד אי-שוויונות עם תחום הגדרה, טרנספורמציות ואיתור טעות ברמת בגרות. כל התשובות המספריות יוצאות שלמות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר מעריכי-לוגריתמי".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1ההגדרה: logₐb = x ⟵ aˣ = b, עם a > 0, a ≠ 1, b > 0.
- 2חוקי לוגריתמים: מכפלה ⟵ חיבור, מנה ⟵ חיסור, חזקה ⟵ n · logₐx.
- 3נקודות קבע: aˣ עוברת ב-(0, 1); logₐx עוברת ב-(1, 0).
- 4כיוון: a > 1 ⟵ שתיהן עולות; 0 < a < 1 ⟵ שתיהן יורדות, ובאי-שוויון הכיוון מתהפך.
- 5תחום הגדרה: באי-שוויון לוגריתמי דורשים תמיד שהביטוי בתוך הלוג יהיה חיובי.
- 6טרנספורמציות: הזזה אנכית מזיזה גם את האסימפטוטה של aˣ; הזזה אופקית מזיזה את האסימפטוטה של logₐx.
