תרגול הסדרה ההנדסית
כל מה שלמדנו על הסדרה ההנדסית - המנה הקבועה q = aₙ₊₁/aₙ, האיבר הכללי aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, הסכום הסופי Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1), וסכום הסדרה האינסופית המתכנס S = a₁/(1 - q) כאשר |q| < 1 - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאיבר בודד ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. זכרו את השיטה: מזהים a₁ ו-q, מציבים באיבר הכללי, ואז בנוסחת הסכום - ובסכום אינסופי בודקים תחילה התכנסות.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים את האיבר הראשון a1 ואת המנה q, מציבים באיבר הכללי (aN = a1 * qn−1) ובסכום Sn = a1(qn - 1)/(q - 1), ובסכום אינסופי מתכנס (|q| < 1) בונים S = a1/(1 - q). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". איבר · מנה · סכום · סכום אינסופי
כמה זה 3 + 6 + 12 + 24 + 48? אפשר לחבר בסבלנות, אבל בסדרה הנדסית יש קיצור דרך. המנה כאן קבועה - q = 2 - ולכן כל איבר כפול מקודמו, האיבר החמישי הוא a₅ = 3·2⁴ = 48, והסכום הוא S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 93. וכשהמנה קטנה, |q| < 1, אפילו אינסוף איברים מסתכמים למספר סופי אחד: 8 + 2 + 0.5 + … = 8/(1 - ¼) = 323. נזכיר כאן את הנוסחאות, ואחר כך לתרגול המדורג.
האנטומיה של סדרה הנדסית - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: מתחילים באיבר הראשון a₁ ומכפילים שוב ושוב במנה הקבועה q. האיבר הכללי הוא aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ והסכום הסופי הוא Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1). הנה המפה המלאה על הדוגמה a₁ = 3, q = 2: האיברים הם 3, 6, 12, 24, 48 - כל אחד כפול מקודמו - כך ש-a₅ = 3·2⁴ = 48 והסכום S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 93. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בסדרה ההנדסית ובטור האינסופי של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהמנה הקבועה, דרך האיבר הכללי והסכום הסופי, ועד תנאי ההתכנסות וסכום הסדרה האינסופית. ואז לתרגול המדורג.
המנה הקבועה q
סדרה היא הנדסית אם כל איבר מתקבל מקודמו בהכפלה במנה קבועה: q = aₙ₊₁/aₙ. ב-3, 6, 12, 24, … המנה היא q = 2 - כל איבר כפול מקודמו.
האיבר הכללי
מכפילים את a₁ במנה q בדיוק n - 1 פעמים: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. ל-a₁ = 3, q = 2 מקבלים a₅ = 3·2⁴ = 48.
סכום n האיברים
אין צורך לחבר אחד-אחד - יש נוסחה: Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) (כאשר q ≠ 1). ל-a₁ = 3, q = 2 יוצא S₅ = 3(2⁵ - 1)/(2 - 1) = 3·31 = 93.
מתי הסכום מתכנס
סכום סדרה אינסופית הוא הסכום של כל אינסוף האיברים. הוא מתכנס למספר סופי בדיוק כאשר |q| < 1 - אז החזקות qⁿ שואפות לאפס וההצטברות נעצרת בגבול. כאשר |q| ≥ 1 הסדרה מתבדרת.
סכום הסדרה האינסופית
כאשר |q| < 1, סכום אינסוף האיברים הוא S = a₁/(1 - q). לדוגמה a₁ = 8, q = ¼ נותן S = 8/(1 - ¼) = 323 ≈ 10.67.
היפוך: למצוא a₁
מהנוסחה של הסכום האינסופי אפשר לחלץ את האיבר הראשון: a₁ = S(1 - q). אם S = 32 ו-q = ½ אז a₁ = 32·(1 - ½) = 16.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: מזהים a₁ ו-q, ובוחרים את הנוסחה המתאימה (איבר כללי, סכום סופי, או סכום אינסופי - ובסכום אינסופי בודקים תחילה שהמנה מקיימת |q| < 1). אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את הנתונים: האיבר הראשון a₁ = 3 והמנה q = 2.
- מוצאים את האיבר החמישי: a₅ = a₁·q⁴ = 3·2⁴ = 3·16 = 48.
- מציבים בנוסחת הסכום: S₅ = a₁(q⁵ - 1)/(q - 1) = 3(32 - 1)/(2 - 1) = 3·31.
- האיבר החמישי הוא a₅ = 48 והסכום הוא S₅ = 93.
- בודקים התכנסות: |q| = ¼ < 1, ולכן הסכום מתכנס ויש לו סכום סופי.
- מציבים בנוסחה: S = a₁/(1 - q) = 8/(1 - ¼).
- מפשטים את המכנה: 1 - ¼ = ¾, לכן S = 8/(¾) = 8·(43).
- S = 323 ≈ 10.67.
- בודקים התכנסות: |q| = ½ < 1 ← הסכום מתכנס.
- מציבים: S = a₁/(1 - q) = 16/(1 - ½) = 16/(½).
- מחלקים בשבר: חלוקה ב-½ היא הכפלה ב-2: 16·2.
- S = 32.
תרגול מדורג - הסדרה ההנדסית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: איבר כללי, מנה והצבה ישירה; סכום סופי וסכום אינסופי מתכנס; רב-שלבי, התכנסות והיפוך; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1) ו-S = a₁/(1 - q)), והתשובות המספריות יוצאות שלמות ומדויקות (ובמקום שיש עיגול - הוא מצוין בשאלה). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרה" שמחשבת aₙ ו-Sₙ מ-a₁, q, n, וגם את סכום הסדרה האינסופית. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מנה קבועה: q = aₙ₊₁/aₙ - כל איבר כפול מקודמו ב-q.
- 2איבר כללי: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
- 3סכום סופי: Sₙ = a₁(qⁿ - 1)/(q - 1).
- 4התכנסות: סכום אינסופי מתכנס בדיוק כש-|q| < 1.
- 5סכום אינסופי: S = a₁/(1 - q), ומכאן a₁ = S(1 - q).
