הסדרה ההנדסית והסכום האינסופי
בסדרה הנדסית כל איבר מתקבל מקודמו בהכפלה במנה קבועה q. האיבר הכללי הוא aₙ = a₁·qⁿ⁻¹ וסכום n האיברים הראשונים Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1). וכשהמנה קטנה, |q| < 1, גם אינסוף איברים מסתכמים למספר סופי אחד: S = a₁/(1 − q). גררו את המנה במעבדה וראו את הסכומים החלקיים מטפסים ומתקרבים לגבול.
האם אינסוף מספרים יכולים להסתכם למספר סופי? קחו את הסכום 8 + 2 + 0.5 + 0.125 + … - סדרה הנדסית עם a₁ = 8 ו-q = ¼. כל איבר קטן פי ארבעה מקודמו, והסכומים החלקיים מטפסים: 8, 10, 10.5, 10.625, … אך לעולם אינם עוברים גבול אחד. כי כאשר |q| < 1 הסכום מתכנס, והגבול הוא S = a₁/(1 − q) = 8/(1 − ¼) = 323. בדף הזה נכיר את האיבר הכללי, את סכום n האיברים, ואת סכום הסדרה האינסופית המתכנס.
האנטומיה של סדרה הנדסית
בסדרה הנדסית מתחילים באיבר a₁ ומכפילים שוב ושוב במנה q. הנה המפה על הדוגמה a₁ = 3, q = 2: האיברים הם 3, 6, 12, 24, 48, כך ש-a₅ = 3·2⁴ = 48, וסכום חמשת האיברים הוא S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 93:
ששת עמודי התווך
שישה רעיונות שנותנים שליטה מלאה בסדרות הנדסיות ובטורים אינסופיים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. עברו עליהם לפי הסדר - כל אחד מזין את הבא - ותוך כדי קריאה גררו את המנה במעבדה שלמעלה וצפו איך הסכומים החלקיים מתנהגים.
מהי סדרה הנדסית
כל איבר מתקבל מקודמו בהכפלה במנה קבועה q = aₙ₊₁/aₙ. אצל a₁ = 3, q = 2 הסדרה היא 3, 6, 12, 24, 48, … - כל איבר כפול מקודמו.
האיבר הכללי, וכלל הנסיגה
מכפילים את a₁ ב-q בדיוק n − 1 פעמים: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. לדוגמה a₅ = 3·2⁴ = 3·16 = 48.
שני ייצוגים לאותה סדרה. כלל לפי מקום: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹. כלל נסיגה: a₁ נתון , aₙ₊₁ = q · aₙ - כל איבר מתקבל מהקודם בהכפלה במנה. לסדרה a₁ = 3, q = 2 מקבלים 3, 6, 12, 24. הוכחה שסדרה הנדסית: מראים שהיחס aₙ₊₁ : aₙ קבוע. תכונה שקולה: כל איבר הוא הממוצע ההנדסי של שכניו, aₙ = aₙ₋₁ · aₙ₊₁; למשל 6 · 24 = 144 = 12.
סכום n איברים
אין צורך לחבר אחד-אחד - יש נוסחה: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1) (כאשר q ≠ 1). למשל S₅ = 3(2⁵ − 1)/(2 − 1) = 3·31 = 93.
מתי הסכום מתכנס
סכום סדרה אינסופית הוא הסכום של כל אינסוף האיברים. הוא מתכנס למספר סופי בדיוק כאשר |q| < 1 - אז החזקות qⁿ שואפות לאפס וההצטברות נעצרת בגבול.
סכום הסדרה האינסופית
כאשר |q| < 1, הסכום של אינסוף האיברים הוא S = a₁/(1 − q). לדוגמה a₁ = 8, q = ¼ נותן S = 8/(1 − ¼) = 323.
סכומים חלקיים וגבול
הסכומים החלקיים Sₙ מטפסים ומתקרבים ל-S אך לעולם לא עוברים אותו (כש-q > 0). זה בדיוק הפירוש של התכנסות: ככל ש-n גדל, Sₙ נצמד לגבול a₁/(1 − q).
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים a₁ ו-q, מציבים בנוסחה המתאימה (איבר כללי, סכום סופי, או סכום אינסופי), ומחשבים.
- מזהים: סדרה הנדסית עם a₁ = 3 ומנה q = 2.
- איבר כללי: a₅ = a₁·q⁴ = 3·2⁴ = 3·16 = 48.
- סכום 5 איברים: S₅ = a₁(q⁵ − 1)/(q − 1) = 3(32 − 1)/(2 − 1) = 3·31.
- a₅ = 48 וגם S₅ = 93.
- בודקים התכנסות: |q| = ¼ < 1, ולכן הסכום מתכנס ויש לו סכום סופי.
- מציבים בנוסחה: S = a₁/(1 − q) = 8/(1 − ¼).
- מפשטים את המכנה: 1 − ¼ = ¾, לכן S = 8/(¾) = 8·(43).
- S = 323 ≈ 10.67.
- בודקים התכנסות: |q| = ½ < 1 ⟵ הסכום מתכנס.
- מציבים: S = a₁/(1 − q) = 16/(1 − ½) = 16/(½).
- מחלקים בשבר: חלוקה ב-½ היא הכפלה ב-2: 16·2.
- S = 32.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (איבר כללי, מנה, הצבה ישירה), יישום (סכום סופי וסכום אינסופי מתכנס), ורמת בגרות (שאלות רב-שלביות ופרשנות של התכנסות). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הסדרה".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מנה קבועה: q = aₙ₊₁/aₙ - כל איבר כפול מקודמו ב-q.
- 2איבר כללי: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹.
- 3סכום n איברים: Sₙ = a₁(qⁿ − 1)/(q − 1).
- 4התכנסות: סכום אינסופי מתכנס בדיוק כש-|q| < 1.
- 5סכום אינסופי: S = a₁/(1 − q) כאשר |q| < 1.
