נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
פונקציה לוגריתמית · חקירה · תרגול מדורג

תרגול חקירת פונקציה לוגריתמית

כל מה שלמדנו על חקירת פונקציה לוגריתמית - תחום ההגדרה מהתנאי הביטוי בתוך ה-ln > 0, האסימפטוטה האנכית בקצה התחום, הנגזרת עם (ln x)\u0027 = 1/x, נקודות הקיצון מ-f\u0027(x) = 0, ומבחן הסימן שקובע מינימום או מקסימום - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מתחום ואסימפטוטה ועד חקירה רב-שלבית מלאה. זכרו את הסדר: תחום ← אסימפטוטה ← נגזרת ← קיצון ← סקיצה.

מעבדת החקירה - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - תחום, אסימפטוטה, נגזרת וקיצון

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: קובעים תחום מהתנאי שהארגומנט חיובי, מוצאים את האסימפטוטה בקצה, גוזרים עם (ln x)' = 1/x, ופותרים f'(x) = 0 לקיצון. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תחום · אסימפטוטה · נגזרת · קיצון

איפה בכלל מותר להציב? ה-ln מוגדר רק על מספרים חיוביים, ולכן תחום ההגדרה של פונקציה לוגריתמית נקבע מהתנאי הביטוי בתוך ה-ln > 0. בקצה התחום, כשהארגומנט שואף ל-0, מופיעה אסימפטוטה אנכית, ובתוך התחום, במקום שבו f\u0027(x) = 0, חבויה נקודת קיצון. בדוגמה f(x) = x - ln x: תחום x > 0, אסימפטוטה אנכית x = 0, ומינימום ב-(1, 1). נרענן כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירה לוגריתמית - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: בכל חקירה לוגריתמית נפגשים אותם מרכיבים - תחום ההגדרה (הארגומנט חיובי), האסימפטוטה האנכית בקצה התחום, ונקודת הקיצון שבה הנגזרת מתאפסת. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x - ln x, שנגזרתה f\u0027(x) = 1 - 1/x מתאפסת ב-x = 1 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

מרכיבי החקירה - על f(x) = x - ln x: אסימפטוטה אנכית x = 0, מינימום ב-(1, 1)
y x f(x) = x - ln x מינימום (1, 1) אסימפטוטה אנכית x = 0
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציה לוגריתמית של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מתחום ההגדרה, דרך האסימפטוטה האנכית והנגזרת (ln x)\u0027 = 1/x, ועד נקודות הקיצון, מבחן הסימן והסקיצה. ואז לתרגול המדורג.

1

תחום ההגדרה

ה-ln מוגדר רק על מספר חיובי, ולכן דורשים הביטוי בתוך ה-ln > 0. ל-f(x) = x - ln x נדרש x > 0, ולכן התחום הוא x > 0.

2

אסימפטוטה אנכית

בקצה התחום, כשהארגומנט שבתוך ה-ln שואף ל-0, מופיעה אסימפטוטה אנכית. ל-f(x) = x - ln x היא x = 0, ול-f(x) = ln(x - 2) היא x = 2.

3

הנגזרת של ln

הכלי המרכזי הוא (ln x)\u0027 = 1/x, וברבים בשרשרת (ln u)\u0027 = u\u0027/u. ל-f(x) = x - ln x יוצא f\u0027(x) = 1 - 1/x. הנגזרת קיימת בכל תחום ההגדרה.

4

נקודות קיצון

פותרים f\u0027(x) = 0 ומציבים חזרה. ל-f(x) = x - ln x: 1 - 1/x = 0, ומכאן x = 1. מציבים: f(1) = 1 - ln 1 = 1, ולכן קיצון ב-(1, 1).

5

מבחן סימן וסוג הקיצון

מבחן סימן על f\u0027(x) = 1 - 1/x: משמאל ל-x = 1 הנגזרת שלילית ומימין חיובית - יורדת ואז עולה, ולכן (1, 1) הוא מינימום.

6

סקיצה

מחברים הכול: תחום x > 0, אסימפטוטה אנכית x = 0, ומינימום ב-(1, 1) - ומציירים סקיצה שיורדת עד x = 1 ועולה אחריה.

מינימום (1, 1)
f(x) = x - ln x - יש מינימום ב-(1, 1)
אין קיצון - עולה
f(x) = ln(x - 2) - תמיד עולה, אין קיצון
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון חקירת פונקציה ב-4 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: תחום מהתנאי הביטוי בתוך ה-ln > 0, אסימפטוטה אנכית בקצה, גזירה עם (ln x)\u0027 = 1/x, ופתרון f\u0027(x) = 0. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1f(x) = x - ln x
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: נדרש x > 0 (הארגומנט של ה-ln חיובי), לכן התחום x > 0 ויש אסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. גוזרים עם (ln x)\u0027 = 1/x: f\u0027(x) = 1 - 1/x.
  3. פותרים f\u0027(x)=0: 1 - 1/x = 0, ומכאן 1/x = 1 ולכן x = 1.
  4. מציבים: f(1) = 1 - ln 1 = 1, וממבחן סימן זהו מינימום ב-(1, 1).
דוגמה 2f(x) = ln(x - 2)
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: דורשים x - 2 > 0, כלומר x > 2, ולכן התחום x > 2 ואסימפטוטה אנכית x = 2.
  2. גוזרים בשרשרת (ln u)\u0027 = u\u0027/u: עם u = x - 2, u\u0027 = 1: f\u0027(x) = 1/(x - 2).
  3. מבחן סימן: בכל התחום x > 2 מתקיים 1/(x - 2) > 0, ולכן f\u0027(x) ≠ 0 - אין נקודות קיצון.
  4. הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה x > 2, עם אסימפטוטה אנכית x = 2.
דוגמה 3f(x) = 2x - ln x
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: נדרש x > 0, לכן התחום x > 0 ואסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. גוזרים עם (ln x)\u0027 = 1/x: f\u0027(x) = 2 - 1/x.
  3. פותרים f\u0027(x)=0: 2 - 1/x = 0, ומכאן 1/x = 2 ולכן x = 0.5.
  4. מציבים: f(0.5) = 1 - ln 0.5 = 1 + ln 2 ≈ 1.69; ממבחן סימן זהו מינימום ב-(0.5, 1 + ln 2).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חקירת פונקציה לוגריתמית

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום, אסימפטוטה והצבה ישירה; גזירה עם (ln x)\u0027 = 1/x ומציאת קיצון; חקירה רב-שלבית ומונוטוניות; ועד שאלת בגרות מלאה ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (תחום מהתנאי שהארגומנט חיובי, אסימפטוטה בקצה, נגזרת וקיצון), והתשובות המספריות יוצאות מדויקות או מעוגלות לפי ההנחיה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה" שמחשבת תחום, אסימפטוטה, נגזרת וקיצון. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום: דורשים הביטוי בתוך ה-ln > 0.
  • 2אסימפטוטה אנכית: בקצה התחום, שם הארגומנט שואף ל-0.
  • 3נגזרת: (ln x)\u0027 = 1/x, וברבים (ln u)\u0027 = u\u0027/u.
  • 4קיצון: פותרים f\u0027(x) = 0 ומציבים חזרה.
  • 5סקיצה: מחברים תחום, אסימפטוטה, קיצון ומבחן סימן.
מפתח פתרונות (תרגול)

    חקירת לוגריתמית. תחום ההגדרה ראשון, ומיד אחריו האסימפטוטה האנכית.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי