נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
חקירת פונקציה

לחקור פונקציה לוגריתמית - צעד אחר צעד

בפונקציה לוגריתמית מותר להציב רק היכן שהביטוי בתוך ה-ln חיובי. חקירה מלאה מוצאת את תחום ההגדרה (הביטוי בתוך ה-ln > 0), את האסימפטוטה האנכית בקצה התחום, את נקודת הקיצון מ-f'(x) = 0 - ומרכיבה מהם סקיצה. נשען על הזהות (ln x)' = 1/x. גררו את הנקודה במעבדה וראו את האסימפטוטה והמינימום חיים על הגרף.

מעבדת החקירה גררו את הנקודה וצפו באסימפטוטה האנכית ובנקודת המינימום
f(x) = x − ln x
נקודה על הגרף (1, 1) אסימפטוטה אנכית x = 0 מינימום (1, 1)
נקודה על הגרף x1

איפה בכלל מותר להציב? ה-ln מוגדר רק על מספרים חיוביים, ולכן בפונקציה לוגריתמית תחום ההגדרה נקבע מהתנאי הביטוי בתוך ה-ln > 0. בקצה התחום, כשהביטוי שואף ל-0, הערך צונח אל −∞ לאורך אסימפטוטה אנכית. ובתוך התחום, במקום שבו f'(x) = 0, חבויה נקודת קיצון. בדף הזה נחקור את כל אלה על הדוגמה f(x) = x − ln x.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירה לוגריתמית

בגרף אחד נפגשים כל מרכיבי החקירה: תחום ההגדרה (x > 0), האסימפטוטה האנכית x = 0 שאליה הגרף צונח, ונקודת המינימום שבה f'(x) = 0. הנה המפה על הדוגמה f(x) = x − ln x, שנגזרתה f'(x) = 1 − 1/x מתאפסת ב-x = 1, ונקודת המינימום היא (1, 1):

f(x) = x − ln x - אסימפטוטה אנכית x = 0, מינימום ב-(1, 1)
y x f(x) = x − ln x מינימום (1, 1) אסימפטוטה אנכית x = 0
נכיר צעד אחר צעד

ששת שלבי החקירה

שישה שלבים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציה לוגריתמית, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. עברו עליהם לפי הסדר - כל שלב מזין את הבא - ותוך כדי קריאה גררו את הנקודה במעבדה שלמעלה וצפו כיצד האסימפטוטה והמינימום מתגלים.

1

תחום ההגדרה

ה-ln מוגדר רק על מספר חיובי, ולכן דורשים הביטוי בתוך ה-ln > 0. ל-f(x) = x − ln x נדרש x > 0, ולכן התחום הוא x > 0.

2

אסימפטוטה אנכית

בקצה התחום, כשהביטוי שבתוך ה-ln שואף ל-0, הפונקציה צונחת אל −∞ - שם אסימפטוטה אנכית. ל-f(x) = x − ln x היא x = 0.

3

הנגזרת של ln

הכלי המרכזי הוא (ln x)' = 1/x, וברבים בשרשרת (ln u)' = u'/u. ל-f(x) = x − ln x יוצא f'(x) = 1 − 1/x. הנגזרת קיימת בכל תחום ההגדרה.

4

נקודות קיצון

פותרים f'(x) = 0. ל-f(x) = x − ln x: 1 − 1/x = 0 ⟵ x = 1. מציבים חזרה: f(1) = 1 − ln 1 = 1, ולכן קיצון ב-(1, 1).

5

מבחן סימן וסוג הקיצון

מבחן סימן על f'(x) = 1 − 1/x: משמאל ל-x = 1 (למשל x = 0.5) הנגזרת שלילית, ומימין (x = 2) חיובית - יורדת ואז עולה, ולכן (1, 1) הוא מינימום.

6

סקיצה

מחברים הכול: תחום x > 0, אסימפטוטה אנכית x = 0 שאליה הגרף צונח, ומינימום ב-(1, 1) - ומציירים סקיצה שיורדת עד x = 1 ועולה אחריה.

מינימום (1, 1)
f(x) = x − ln x - יש מינימום ב-(1, 1)
אין קיצון - עולה
f(x) = ln(x − 2) - תמיד עולה, אין קיצון
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון חקירת פונקציה ב-4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת על עצמה: תחום מהתנאי הביטוי בתוך ה-ln > 0, אסימפטוטה אנכית בקצה, גזירה עם (ln x)' = 1/x, ופתרון f'(x) = 0.

דוגמה 1f(x) = x − ln x
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: נדרש x > 0 (הארגומנט של ה-ln חיובי), לכן התחום x > 0 ויש אסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. גוזרים עם (ln x)' = 1/x: f'(x) = 1 − 1/x.
  3. פותרים f'(x)=0: 1 − 1/x = 0 ⟵ 1/x = 1 ⟵ x = 1.
  4. מציבים: f(1) = 1 − ln 1 = 1, וממבחן סימן זהו מינימום ב-(1, 1).
דוגמה 2f(x) = ln(x − 2)
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: דורשים x − 2 > 0 ⟵ x > 2, ולכן התחום x > 2 ואסימפטוטה אנכית x = 2.
  2. גוזרים בשרשרת (ln u)' = u'/u: עם u = x − 2, u' = 1: f'(x) = 1/(x − 2).
  3. מבחן סימן: בכל התחום x > 2 מתקיים 1/(x − 2) > 0, ולכן f'(x) ≠ 0 - אין נקודות קיצון.
  4. הפונקציה עולה בכל תחום הגדרתה x > 2, עם אסימפטוטה אנכית x = 2.
דוגמה 3f(x) = 2x − ln x
  1. תחום ואסימפטוטה אנכית: נדרש x > 0, לכן התחום x > 0 ואסימפטוטה אנכית x = 0.
  2. גוזרים עם (ln x)' = 1/x: f'(x) = 2 − 1/x.
  3. פותרים f'(x)=0: 2 − 1/x = 0 ⟵ 1/x = 2 ⟵ x = 0.5.
  4. מציבים: f(0.5) = 1 − ln 0.5 = 1 + ln 2 ≈ 1.69; ממבחן סימן זהו מינימום ב-(0.5, 1 + ln 2).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (תחום, אסימפטוטה, הצבה ישירה), יישום (גזירה עם (ln x)' = 1/x ומציאת קיצון), ורמת בגרות (חקירה רב-שלבית מלאה). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1תחום: דורשים הביטוי בתוך ה-ln > 0.
  • 2אסימפטוטה אנכית: בקצה התחום, שם הארגומנט שואף ל-0.
  • 3נגזרת: (ln x)' = 1/x, וברבים (ln u)' = u'/u.
  • 4קיצון: פותרים f'(x) = 0 ומציבים חזרה.
  • 5סקיצה: מחברים תחום, אסימפטוטה, קיצון ומבחן סימן.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו נקודה על הגרף. האסימפטוטה האנכית והמינימום מתגלים בזמן אמת.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי