נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
גאומטריה במרחב · פירמידה ותיבה · תרגול מדורג

תרגול גאומטריה במרחב

כל מה שלמדנו על הגופים במרחב - שיעורים (x, y, z), מרחק Δx² + Δy² + Δz², נפח תיבה a·b·c, אלכסון התיבה a² + b² + c², ונפח פירמידה 13·שטח הבסיס·גובה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד שאלת בגרות רב-שלבית. זכרו את השיטה: מזהים את הגוף, בוחרים את הנוסחה הנכונה, ומציבים.

מעבדת הגופים - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - נפח, אלכסון או מרחק במרחב

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים את הגוף (תיבה או פירמידה), בוחרים את הנוסחה הנכונה, ומציבים. נפח תיבה = a·b·c, אלכסון התיבה = השורש של a²+b²+c², נפח פירמידה = שליש משטח הבסיס כפול הגובה, ומרחק במרחב = השורש של סכום ריבועי ההפרשים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תיבה · פירמידה · מרחק במרחב

כמה גדול הגוף באמת? תיבה שממדיה 3 × 4 × 5 נראית פשוטה, אבל יש בה כמה גדלים שכדאי לדעת לחשב: נפח 3·4·5 = 60, ואלכסון התיבה שחוצה אותה מפינה לפינה, 3² + 4² + 5² = 50 ≈ 7.07. אותו רעיון עובד גם על פירמידה: נפח פירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10 הוא 13·36·10 = 120. נזכיר כאן את השיטה בקצרה, ואז לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של גוף במרחב - תזכורת

נזכר שוב במרכיבים: בכל גוף במרחב נפגשים אותם חלקים - הממדים (אורך, רוחב, גובה), הבסיס שעליו הגוף עומד, הגובה המאונך לבסיס, ואלכסון התיבה שחוצה את הגוף. מזהים אותם, ואז בוחרים את הנוסחה. הנה המפה המלאה על התיבה 3 × 4 × 5 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

תיבה 3 × 4 × 5 - נפח 60, אלכסון התיבה 50 ≈ 7.07
a = 3 c = 5 b = 4 תיבה 3 × 4 × 5 - נפח 60 אלכסון 50 ≈ 7.07
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בפירמידה ובתיבה במרחב של כיתה יב׳ (4 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משיעורים במרחב ומרחק, דרך נפח התיבה ואלכסון התיבה, ועד נפח הפירמידה והניצבות שמאפשרת את הכול. ואז לתרגול המדורג.

1

שיעורים במרחב

כל נקודה במרחב מתוארת בשלושה שיעורים P = (x, y, z). הראשית היא (0, 0, 0), וכל ציר מודד כיוון אחד - אורך, רוחב וגובה.

2

מרחק במרחב

המרחק בין שתי נקודות הוא Δx² + Δy² + Δz². למשל מרחק הנקודה (1, 2, 2) מהראשית הוא 1 + 4 + 4 = 9 = 3.

3

נפח תיבה, ומנסרה כמושג הכללי

נפח תיבה שממדיה a, b, c הוא מכפלת הממדים: V = a·b·c. לתיבה 3 × 4 × 5 הנפח הוא 3·4·5 = 60.

המושג הכללי: התיבה היא מקרה פרטי של מנסרה - גוף עם שני בסיסים חופפים ומקבילים. הנוסחאות הכלליות: V = S · h ו-F = M + 2S, כאשר M שטח המעטפת (במנסרה ישרה: היקף הבסיס כפול הגובה). מקרים פרטיים: מקבילון (בסיס מקבילית), תיבה וקובייה. ובמרחב: שני ישרים שונים הם נחתכים, מקבילים או מצטלבים - כלומר אין להם נקודה משותפת ואין מישור אחד שמכיל את שניהם.

4

אלכסון התיבה

אלכסון התיבה חוצה את התיבה מפינה לפינה, והוא a² + b² + c² - בדיוק נוסחת המרחק במרחב. לתיבה 3 × 4 × 5 האלכסון 9 + 16 + 25 = 50 ≈ 7.07.

5

נפח פירמידה

נפח פירמידה הוא שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה: V = 13·שטח הבסיס·גובה. לפירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10: V = 13·36·10 = 120.

6

ניצבות לישר ולמישור

גובה הפירמידה מאונך למישור הבסיס, וצלעות התיבה מאונכות זו לזו. הניצבות היא שמאפשרת להשתמש בנוסחאות הנפח ובמשפט פיתגורס במרחב לחישוב האלכסון.

V = a·b·c
תיבה - נפח a·b·c, אלכסון a²+b²+c²
V = ⅓·בסיס·גובה
פירמידה - נפח ⅓·שטח הבסיס·גובה
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון 4 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: מזהים את הגוף, בוחרים את הנוסחה הנכונה (נפח / אלכסון / מרחק), ומציבים. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1תיבה 3 × 4 × 5
  1. מזהים גוף ונוסחה: תיבה שממדיה a = 3, b = 4, c = 5. נפח תיבה V = a·b·c.
  2. מחשבים נפח: V = 3·4·5 = 60.
  3. אלכסון התיבה: d = a² + b² + c² = 9 + 16 + 25 = 50.
  4. הנפח הוא 60 והאלכסון 50 ≈ 7.07.
דוגמה 2פירמידה - בסיס ריבוע צלע 6, גובה 10
  1. שטח הבסיס: הבסיס ריבוע צלע 6, לכן שטחו 6² = 36.
  2. נוסחת נפח פירמידה: V = 13·שטח הבסיס·גובה.
  3. מציבים: V = 13·36·10 = 3603 = 120.
  4. נפח הפירמידה הוא 120.
דוגמה 3מרחק הנקודה (2, 3, 6) מהראשית
  1. נוסחת המרחק במרחב: d = Δx² + Δy² + Δz², כאשר הראשית היא (0, 0, 0).
  2. מציבים את ההפרשים: Δx = 2, Δy = 3, Δz = 6.
  3. מחשבים: d = 2² + 3² + 6² = 4 + 9 + 36 = 49.
  4. המרחק הוא 49 = 7. לשם השוואה, מרחק (1, 2, 2) מהראשית הוא 9 = 3.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - גאומטריה במרחב

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: הצבה ישירה בנוסחאות (נפח, מרחק); אלכסון תיבה ונפח פירמידה; בעיות הפוכות ושילוב בין גופים; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (נפח a·b·c, אלכסון a²+b²+c², נפח פירמידה ⅓·שטח הבסיס·גובה, ומרחק במרחב), והתשובות המספריות יוצאות נקיות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הגופים" שמחשבת נפח, שטח פנים ואלכסון התיבה לתיבה ולפירמידה. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1שיעורים במרחב: כל נקודה היא (x, y, z).
  • 2מרחק במרחב: Δx² + Δy² + Δz².
  • 3נפח תיבה: a·b·c; אלכסון התיבה a² + b² + c².
  • 4נפח פירמידה: ⅓·שטח הבסיס·גובה.
  • 5ניצבות: הגובה מאונך לבסיס - כך פועלות הנוסחאות ופיתגורס במרחב.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי, אני משולש! זה דף תרגול. גללו לתזכורת קצרה, ואז לתרגול המדורג. אני כאן עם טיפ בכל שלב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי