נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 4 יח״ל 4 יחידות
גאומטריה במרחב

פירמידה ותיבה במרחב התלת־ממדי

במרחב כל נקודה מקבלת שלושה שיעורים (x, y, z). נפח תיבה הוא a·b·c, נפח פירמידה הוא 13·שטח הבסיס·גובה, והמרחק בין שתי נקודות הוא Δx² + Δy² + Δz². סובבו את הגוף במעבדה, גררו את הממדים, וראו איך הנפח, שטח הפנים ואלכסון התיבה משתנים לנגד עיניכם.

מעבדת המרחב סובבו את הגוף וגררו את הממדים - הנפח, השטח והאלכסון מתעדכנים
תיבה 3 × 4 × 5
נפח 60 שטח פנים 94 אלכסון התיבה 7.07
מצב הגוףתיבה
אורך a3
רוחב b4
גובה c5
סיבוב30°

כמה גדול הגוף באמת? תיבה שממדיה 3 × 4 × 5 נראית פשוטה - אך יש בה שלושה גדלים שונים שכדאי לדעת לחשב: נפח 3·4·5 = 60, שטח פנים, ואלכסון התיבה שחוצה אותה מפינה לפינה, 3² + 4² + 5² = 50 ≈ 7.07. אותו רעיון עובד גם על פירמידה: נפח פירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10 הוא 13·36·10 = 120. בדף הזה נשלוט בשני הגופים האלה במרחב.

מבט מקרוב

האנטומיה של גוף במרחב

בכל גוף במרחב נפגשים אותם מרכיבים: הממדים (אורך, רוחב, גובה), הבסיס שעליו הגוף עומד, הגובה המאונך לבסיס, ואלכסון התיבה שחוצה את הגוף. הנה המפה על התיבה 3 × 4 × 5: נפחה 3·4·5 = 60 ואלכסונה 3² + 4² + 5² = 50 ≈ 7.07.

תיבה 3 × 4 × 5 - נפח 60, אלכסון התיבה 50 ≈ 7.07
a = 3 c = 5 b = 4 תיבה 3 × 4 × 5 - נפח 60 אלכסון 50 ≈ 7.07
נכיר צעד אחר צעד

ששת הכלים לגאומטריה במרחב

שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בפירמידה ובתיבה במרחב, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-4 יח״ל. עברו עליהם לפי הסדר - כל כלי מזין את הבא - ותוך כדי קריאה סובבו את הגוף במעבדה שלמעלה וגררו את הממדים.

1

שיעורים במרחב

כל נקודה במרחב מתוארת בשלושה שיעורים P = (x, y, z). הראשית היא (0, 0, 0), וכל ציר מודד כיוון אחד - אורך, רוחב וגובה.

2

מרחק במרחב

המרחק בין שתי נקודות הוא Δx² + Δy² + Δz². למשל מרחק הנקודה (1, 2, 2) מהראשית הוא 1 + 4 + 4 = 9 = 3.

3

מנסרה, מקבילון ותיבה

נפח תיבה שממדיה a, b, c הוא מכפלת הממדים: V = a·b·c. לתיבה 3 × 4 × 5 הנפח הוא 3·4·5 = 60.

המושג הכללי: מנסרה היא גוף שבו שני בסיסים מצולעים חופפים ומקבילים, והפאות הצדדיות מחברות ביניהם. המונחים: בסיס, פאה, מקצוע, אלכסון וגובה. הנוסחאות: V = S · h (שטח הבסיס כפול הגובה) ו-F = M + 2S, כאשר M הוא שטח המעטפת - סכום שטחי הפאות הצדדיות. במנסרה ישרה M = היקף הבסיס · h.

המקרים הפרטיים: כשהבסיס מקבילית מקבלים מקבילון; כשהמנסרה ישרה והבסיס מלבן מקבלים תיבה; וכשכל המקצועות שווים מקבלים קובייה. לכן הנוסחה V = a·b·c של התיבה אינה נוסחה נפרדת אלא V = S · h עם S = a·b ו-h = c.

4

אלכסון התיבה

אלכסון התיבה חוצה את התיבה מפינה לפינה, והוא a² + b² + c² - בדיוק נוסחת המרחק במרחב. לתיבה 3 × 4 × 5 האלכסון 9 + 16 + 25 = 50 ≈ 7.07.

5

נפח פירמידה

נפח פירמידה הוא שליש ממכפלת שטח הבסיס בגובה: V = 13·שטח הבסיס·גובה. לפירמידה שבסיסה ריבוע צלע 6 וגובהה 10: V = 13·36·10 = 120.

6

מצב הדדי בין ישרים, וניצבות למישור

גובה הפירמידה מאונך למישור הבסיס, וצלעות התיבה מאונכות זו לזו. הניצבות היא שמאפשרת להשתמש בנוסחאות הנפח ובמשפט פיתגורס במרחב לחישוב האלכסון.

מצב הדדי בין שני ישרים שונים במרחב: יש בדיוק שלוש אפשרויות. הם נחתכים (יש להם נקודה משותפת אחת, והם קובעים מישור); הם מקבילים (אין נקודה משותפת, אך הם נמצאים באותו מישור); או הם מצטלבים - אין להם נקודה משותפת ואין מישור אחד שמכיל את שניהם. המצב השלישי קיים רק במרחב, ולא במישור, ולכן הוא זה שמפתיע. בתיבה, למשל, מקצוע בבסיס העליון ומקצוע לא-מקביל בבסיס התחתון הם ישרים מצטלבים.

V = a·b·c
תיבה - נפח a·b·c, אלכסון a²+b²+c²
V = ⅓·בסיס·גובה
פירמידה - נפח ⅓·שטח הבסיס·גובה
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון 4 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים את הגוף, בוחרים את הנוסחה הנכונה (נפח / אלכסון / מרחק), ומציבים.

דוגמה 1תיבה 3 × 4 × 5
  1. מזהים גוף ונוסחה: תיבה שממדיה a = 3, b = 4, c = 5. נפח תיבה V = a·b·c.
  2. מחשבים נפח: V = 3·4·5 = 60.
  3. אלכסון התיבה: d = a² + b² + c² = 9 + 16 + 25 = 50.
  4. הנפח הוא 60 והאלכסון 50 ≈ 7.07.
דוגמה 2פירמידה - בסיס ריבוע צלע 6, גובה 10
  1. שטח הבסיס: הבסיס ריבוע צלע 6, לכן שטחו 6² = 36.
  2. נוסחת נפח פירמידה: V = 13·שטח הבסיס·גובה.
  3. מציבים: V = 13·36·10 = 3603 = 120.
  4. נפח הפירמידה הוא 120.
דוגמה 3מרחק הנקודה (1, 2, 2) מהראשית
  1. נוסחת המרחק במרחב: d = Δx² + Δy² + Δz², כאשר הראשית היא (0, 0, 0).
  2. מציבים את ההפרשים: Δx = 1, Δy = 2, Δz = 2.
  3. מחשבים: d = 1² + 2² + 2² = 1 + 4 + 4 = 9.
  4. המרחק הוא 9 = 3.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (נפח, מרחק והצבה ישירה), יישום (אלכסון תיבה, נפח פירמידה, שיעורים), ורמת בגרות (בעיה רב-שלבית במרחב). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר הגופים".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1שיעורים במרחב: כל נקודה היא (x, y, z).
  • 2מרחק במרחב: Δx² + Δy² + Δz².
  • 3נפח תיבה: a·b·c; אלכסון a² + b² + c².
  • 4נפח פירמידה: ⅓·שטח הבסיס·גובה.
  • 5ניצבות: הגובה מאונך לבסיס - כך פועלות הנוסחאות.
  • 7מנסרה: V = S·h, F = M + 2S; תיבה, קובייה ומקבילון הם מקרים פרטיים שלה.
  • 8שני ישרים במרחב: נחתכים · מקבילים · מצטלבים (אין מישור המכיל את שניהם).
מפתח פתרונות (תרגול)

    סובבו את הגוף וגררו ממדים. הנפח, שטח הפנים והאלכסון זזים יחד.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי