תרגול חתכי החרוט
כל מה שלמדנו על אליפסה והיפרבולה קנוניות - הצורה x²/a² + y²/b² = 1 (אליפסה) מול x²/a² - y²/b² = 1 (היפרבולה), זיהוי a ו-b מהמכנה בעזרת שורש, הקודקודים (±a, 0) והמוקדים (±c, 0), ושני קשרי המוקד c² = a² - b² באליפסה מול c² = a² + b² בהיפרבולה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי ישיר ועד שאלת בגרות עם נימוק. זכרו את השיטה: מזהים a² ו-b² מהמכנה, מוציאים שורש, ומחשבים c לפי הסימן של הצורה.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים a² ו-b² מהמכנה, מוציאים שורש ל-a ול-b, ומחשבים c לפי הצורה - באליפסה c² = a² - b² ובהיפרבולה c² = a² + b². השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". x²/a² ± y²/b² = 1
איפה מסתתרים המוקדים? כל חתך חרוט קנוני מקודד את הכול במספרים שבמכנה. באליפסה x²/a² + y²/b² = 1 הקודקודים על ציר ה-x הם (±a, 0) והמוקדים (±c, 0), כאשר c² = a² - b² - למשל ב-x²/25 + y²/16 = 1 יוצא a = 5, b = 4, c = 3: מוקדים (±3, 0), קודקודים (±5, 0). בהיפרבולה הסימן מתהפך: c² = a² + b², והמוקד רחוק יותר מהקודקוד. נרענן כאן את השיטה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של האליפסה הקנונית - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: מזהים מהמכנה את a² ואת b², מוציאים שורש כדי לקבל את a ואת b, ומחשבים c לפי הקשר של הצורה (c² = a² - b² לאליפסה). הקודקודים הם (±a, 0) והמוקדים (±c, 0). הנה המפה על הדוגמה x²/25 + y²/16 = 1 - a = 5, b = 4, c = 3: מוקדים (±3, 0), קודקודים (±5, 0). אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
ששת עמודי התווך
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה באליפסה ובהיפרבולה הקנוניות של כיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: הצורה הקנונית של האליפסה ושל ההיפרבולה, זיהוי a ו-b מהמכנה, המוקדים של האליפסה, המוקדים של ההיפרבולה, וההבדל שהכול תלוי בו - הסימן. ואז לתרגול המדורג.
הצורה הקנונית של האליפסה
אליפסה שמרכזה בראשית נכתבת x²/a² + y²/b² = 1. כאשר a > b הציר הראשי לאורך x, והקודקודים הם (±a, 0).
הצורה הקנונית של ההיפרבולה
היפרבולה שמרכזה בראשית נכתבת x²/a² - y²/b² = 1 (שימו לב לסימן המינוס). היא נפתחת לימין ולשמאל, וקודקודיה הם (±a, 0).
מזהים a ו-b מהמכנה
המספר מתחת ל-x² הוא a² והמספר מתחת ל-y² הוא b². מוציאים שורש: מ-x²/25 מקבלים a = 5, ומ-y²/16 מקבלים b = 4.
המוקדים של האליפסה
המוקדים על ציר ה-x ב-(±c, 0), כאשר c² = a² - b². באליפסה המוקד תמיד קרוב יותר למרכז מהקודקוד, ולכן c < a.
המוקדים של ההיפרבולה
גם כאן המוקדים ב-(±c, 0), אך הקשר הפוך בסימן: c² = a² + b². בהיפרבולה המוקד תמיד רחוק יותר מהמרכז מהקודקוד, ולכן c > a.
ההבדל בסימן - הכול
סימן ה-ועוד נותן אליפסה סגורה; סימן ה-מינוס נותן היפרבולה פתוחה. אותו היפוך חוזר במוקדים: c² = a² - b² באליפסה מול c² = a² + b² בהיפרבולה. זכרו את שני הקשרים בנפרד.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: מזהים a² ו-b² מהמכנה, מוציאים שורש, ומחשבים c לפי הקשר המתאים לצורה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- זיהוי: אליפסה קנונית. a² = 25 ו-b² = 16, ולכן a = 5, b = 4.
- קשר המוקד: באליפסה c² = a² - b² = 25 - 16 = 9, ולכן c = 3.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±5, 0), המוקדים (±3, 0).
- a = 5, b = 4, c = 3 - מוקדים (±3, 0), קודקודים (±5, 0).
- זיהוי: היפרבולה קנונית (סימן מינוס). a² = 9 ו-b² = 16, ולכן a = 3, b = 4.
- קשר המוקד: בהיפרבולה c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, ולכן c = 5.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±3, 0), המוקדים (±5, 0).
- a = 3, b = 4, c = 5 - מוקדים (±5, 0), קודקודים (±3, 0).
- זיהוי: אליפסה קנונית. a² = 169 ו-b² = 144, ולכן a = 13, b = 12.
- קשר המוקד: c² = a² - b² = 169 - 144 = 25, ולכן c = 5.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±13, 0), המוקדים (±5, 0).
- a = 13, b = 12, c = 5 - מוקדים (±5, 0), קודקודים (±13, 0).
תרגול מדורג - חתכי החרוט
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (זיהוי a, b, c והצורה); יישום (קודקודים, מוקדים ובחירת הצורה); מוגברת (מוקדים, מרחקים ואינטרסקט); ורמת בגרות (פתרון מלא, הצבה ואיתור טעות). כל השאלות מבוססות על אותה שיטה, והתשובות המספריות יוצאות שלמות או מעוגלות לפי ההנחיה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר חתכי החרוט" שמחשבת a, b, c, קודקודים ומוקדים מהמכנים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1אליפסה: x²/a² + y²/b² = 1 - סימן ועוד, צורה סגורה.
- 2היפרבולה: x²/a² - y²/b² = 1 - סימן מינוס, נפתחת.
- 3קודקודים ומוקדים: על ציר ה-x תמיד (±a, 0) ו-(±c, 0).
- 4מוקד אליפסה: c² = a² - b², המוקד קרוב (c < a).
- 5מוקד היפרבולה: c² = a² + b², המוקד רחוק (c > a).
