שני מוקדים, עקומה אחת
כשחותכים חרוט במישור מקבלים אליפסה, היפרבולה או פרבולה - כולן חתכי חרוט. באליפסה הקנונית x²/a² + y²/b² = 1 (כאשר a > b) שני המוקדים יושבים על ציר ה-x במרחק c מהמרכז, ו-c² = a² − b². בהיפרבולה הקנונית x²/a² − y²/b² = 1 העקומה נפתחת לשני צדדים ו-c² = a² + b². במעבדה שנו את a ואת b וצפו בקודקודים ובמוקדים זזים בזמן אמת.
איפה מסתתרים המוקדים? קחו מסלול של כוכב לכת סביב השמש - הוא אליפסה, והשמש יושבת באחד המוקדים. באליפסה כל נקודה מקיימת שסכום המרחקים לשני המוקדים קבוע; בהיפרבולה דווקא הפרש המרחקים קבוע. הצורה הקנונית מקודדת הכול במספרים: a הוא חצי-הציר לאורך x, b חצי-הציר לאורך y, והמרחק מהמרכז אל מוקד הוא c. באליפסה c² = a² − b² (המוקד קרוב יותר מהקודקוד), ובהיפרבולה c² = a² + b² (המוקד רחוק מהקודקוד). מכאן קצר הדרך אל כל מוקד וקודקוד.
האנטומיה של האליפסה הקנונית
לכל חתך חרוט קנוני אותם שלבים: מזהים מהמכנה את a² ואת b², מוציאים שורש כדי לקבל את a ואת b, ומחשבים c לפי הקשר (c² = a² − b² לאליפסה). הקודקודים על ציר ה-x הם (±a, 0) והמוקדים (±c, 0). הנה המפה המלאה על הדוגמה x²/25 + y²/16 = 1:
מה מרכיב את חתך החרוט
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה באליפסה ובהיפרבולה הקנוניות, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את a ואת b תוך כדי קריאה, וצפו איך הקודקודים והמוקדים זזים.
הצורה הקנונית של האליפסה
אליפסה שמרכזה בראשית ובציריה על הצירים נכתבת x²/a² + y²/b² = 1. כאשר a > b הציר הראשי לאורך x, והקודקודים הרחוקים הם (±a, 0).
המוקדים של האליפסה
שני המוקדים יושבים על הציר הראשי במרחק c מהמרכז, כלומר (±c, 0), כאשר c² = a² − b². באליפסה המוקד תמיד קרוב יותר למרכז מהקודקוד, ולכן c < a.
הצורה הקנונית של ההיפרבולה
היפרבולה שמרכזה בראשית נכתבת x²/a² − y²/b² = 1 (שימו לב לסימן המינוס). היא נפתחת לימין ולשמאל, וקודקודיה - הנקודות הקרובות ביותר של הענפים - הם (±a, 0).
המוקדים של ההיפרבולה
גם כאן המוקדים על ציר ה-x ב-(±c, 0), אך הקשר הפוך בסימן: c² = a² + b². בהיפרבולה המוקד תמיד רחוק יותר מהמרכז מהקודקוד, ולכן c > a.
מזהים a ו-b מהמכנה
המספר מתחת ל-x² הוא a² והמספר מתחת ל-y² הוא b². מוציאים שורש: מ-x²/25 מקבלים a = 5, ומ-y²/16 מקבלים b = 4. תמיד עובדים עם המכנים.
ההבדל בסימן - הכול
סימן ה-ועוד נותן אליפסה סגורה; סימן ה-מינוס נותן היפרבולה פתוחה. אותו היפוך סימן חוזר במוקדים: c² = a² − b² באליפסה מול c² = a² + b² בהיפרבולה. זכרו את שני הקשרים בנפרד.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים a² ו-b², מוציאים שורש, ומחשבים c לפי הקשר המתאים לצורה.
- זיהוי: אליפסה קנונית. a² = 25 ו-b² = 16, ולכן a = 5, b = 4.
- קשר המוקד: באליפסה c² = a² − b² = 25 − 16 = 9, ולכן c = 3.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±5, 0), המוקדים (±3, 0).
- a = 5, b = 4, c = 3 - מוקדים (±3, 0), קודקודים (±5, 0).
- זיהוי: היפרבולה קנונית (סימן מינוס). a² = 9 ו-b² = 16, ולכן a = 3, b = 4.
- קשר המוקד: בהיפרבולה c² = a² + b² = 9 + 16 = 25, ולכן c = 5.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±3, 0), המוקדים (±5, 0).
- a = 3, b = 4, c = 5 - מוקדים (±5, 0), קודקודים (±3, 0).
- זיהוי: אליפסה קנונית. a² = 169 ו-b² = 144, ולכן a = 13, b = 12.
- קשר המוקד: c² = a² − b² = 169 − 144 = 25, ולכן c = 5.
- קודקודים ומוקדים: הקודקודים (±13, 0), המוקדים (±5, 0).
- a = 13, b = 12, c = 5 - מוקדים (±5, 0), קודקודים (±13, 0).
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (זיהוי a, b, c ומוקד יחיד), יישום (קודקודים, מוקדים ובחירת הצורה), ורמת בגרות (חתך חרוט מלא עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר חתכי החרוט".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1אליפסה: x²/a² + y²/b² = 1 - צורה סגורה, סימן ועוד.
- 2היפרבולה: x²/a² − y²/b² = 1 - נפתחת, סימן מינוס.
- 3קודקודים: על ציר ה-x תמיד (±a, 0).
- 4מוקד אליפסה: c² = a² − b², המוקד קרוב (c < a).
- 5מוקד היפרבולה: c² = a² + b², המוקד רחוק (c > a).
