נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · יב׳ · 5 יח״ל 5 יחידות
חשבון אינטגרלי · בסיס e ו-1/x · תרגול מדורג

תרגול אינטגרל ושטח מעריכי ולוגריתמי

כל מה שלמדנו על האינטגרל והשטח בבסיס e ועל 1/x - הקדומה ∫eˣdx = eˣ + c, המקדם בחזקה ∫eaxdx = eax/a + c, הקדומה של 1/x שהיא הלוגריתם הטבעי ∫(1/x)dx = ln|x| + c, האינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a) והשטח בין הגרף לציר x - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מאינטגרל ישיר ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. זכרו את השיטה: כותבים פונקציה קדומה, מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון, מחסרים, ומקבלים את השטח.

מעבדת השטח - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הפונקציה הקדומה, האינטגרל או השטח הנכון - עבור eˣ, eax או 1/x

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. השיטה קבועה: כותבים פונקציה קדומה, מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון, ומחסרים - ∫eˣdx = eˣ + c, ∫(1/x)dx = ln|x| + c, ומכיוון שהפונקציות חיוביות בקטע השטח שווה לאינטגרל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה".

כמה שטח כלוא מתחת ל-eˣ ומתחת ל-1/x? השטח בין הגרף של f(x) = eˣ לציר x מ-0 עד 1 יוצא e - 1 ≈ 1.718, כי הקדומה של eˣ היא eˣ. והשטח בין f(x) = 1/x לציר x מ-1 עד e יוצא בדיוק 1, כי הקדומה של 1/x היא ln|x| ו-ln e - ln 1 = 1. נעבור כאן על השיטה בקצרה, ואז לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של שטח מעריכי ולוגריתמי - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: השטח בין f(x) לציר x מ-a עד b שווה לאינטגרל המסוים ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a), כשהקדומה של eˣ היא eˣ ושל 1/x היא ln|x|. מציבים גבול עליון פחות גבול תחתון וזוכרים e⁰ = 1 ו-ln 1 = 0. הנה המפה המלאה - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול:

∫₀¹ eˣ dx = e¹ - e⁰ = e - 1 ≈ 1.718 - השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1
y x 0 1 f(x) = eˣ שטח = e - 1 ≈ 1.718 ∫₀¹ eˣ dx = e¹ - e⁰
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה עקרונות שנותנים שליטה מלאה באינטגרל ובשטח של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות של כיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: שלוש נוסחאות קדומה (eˣ, eax, 1/x), האינטגרל המסוים, השטח, וחישוב שטח מלא בפועל. עברו עליהם, ואז לתרגול המדורג.

1

הפונקציה הקדומה של eˣ

הנגזרת של eˣ היא eˣ, ולכן גם הפונקציה הקדומה שלה היא eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c. זו העובדה שכל השאר נבנה עליה.

2

אינטגרל של eax

כשיש מקדם a בחזקה מחלקים בו: ∫eaxdx = eax/a + c. למשל ∫e2xdx = e2x/2 + c. בדיקה: הנגזרת של e2x/2 היא e2x.

3

הפונקציה הקדומה של 1/x

הקדומה של 1/x היא הלוגריתם הטבעי בערך מוחלט: ∫(1/x)dx = ln|x| + c, כי הנגזרת של ln x היא 1/x. הערך המוחלט מכסה גם x < 0.

4

אינטגרל מסוים

אינטגרל עם גבולות מחזיר מספר: מציבים בפונקציה הקדומה גבול עליון פחות גבול תחתון - ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) - F(a). הגבולות "נבלעים" והתוצאה היא ערך מספרי אחד.

5

שטח בין הגרף לציר x

כאשר f > 0 בקטע, האינטגרל המסוים שווה בדיוק לשטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x. גם eˣ וגם 1/x חיוביות בקטעים שלנו, ולכן האינטגרל = השטח.

6

חישוב השטח בפועל

מחברים הכול: מזהים קדומה, מציבים גבולות, מחסרים. בדוגמה ∫₁e (1/x)dx = [ln x]₁e = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1 - שטח של בדיוק 1.

e - 1 ≈ 1.718
f = eˣ -> קדומה eˣ, השטח מ-0 עד 1 הוא e - 1 ≈ 1.718
1e
ln e - ln 1 = 1
f = 1/x -> קדומה ln|x|, השטח מ-1 עד e הוא 1 בדיוק
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון אינטגרל ושטח ב-5 יח״ל - אחת מעריכית, אחת לוגריתמית ואחת עם מקדם בחזקה. השיטה קבועה וחוזרת: פונקציה קדומה, הצבת גבול עליון, הצבת גבול תחתון, חיסור. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1∫₀¹ eˣ dx
  1. פונקציה קדומה: ∫eˣdx = eˣ + c, ולכן F(x) = eˣ.
  2. מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) - F(0) = e¹ - e⁰.
  3. מפשטים: e⁰ = 1, ולכן התוצאה היא e - 1.
  4. השטח בין eˣ לציר x מ-0 עד 1 הוא e - 1 ≈ 1.718.
דוגמה 2∫₁e (1/x) dx
  1. פונקציה קדומה: ∫(1/x)dx = ln|x| + c, ולכן F(x) = ln|x|.
  2. מציבים גבול עליון פחות תחתון: [ln x]₁e = ln e - ln 1.
  3. מפשטים: ln e = 1 ו-ln 1 = 0, ולכן 1 - 0.
  4. השטח בין 1/x לציר x מ-1 עד e הוא בדיוק 1.
דוגמה 3∫₀¹ e2x dx
  1. פונקציה קדומה עם מקדם בחזקה: ∫e2xdx = e2x/2 + c, ולכן F(x) = e2x/2.
  2. מציבים גבול עליון פחות תחתון: F(1) - F(0) = e²/2 - e⁰/2.
  3. מפשטים: e⁰ = 1, ולכן e²/2 - 12 = (e² - 1)/2.
  4. התוצאה היא (e² - 1)/2 ≈ 3.195.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - אינטגרל ושטח מעריכי ולוגריתמי

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: קדומה (כולל 1/x), e⁰ ואינטגרל מסוים בסיסי; מקדם בחזקה, שטח, ו-1/x עם מקדם; הצבת גבולות, ביטוי סימבולי והשוואת שטחים; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על העקרונות שבכרטיסיות התזכורת, והתשובות המספריות מבוקשות עם עיגול מפורש (שלוש ספרות) או נופלות על ערכים מדויקים ונקיים (למשל ∫₁e (1/x) = 1). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח" שמחשבת פונקציה קדומה, אינטגרל מסוים ושטח עבור eax ו-k/x. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1קדומה של eˣ: ∫eˣdx = eˣ + c.
  • 2מקדם בחזקה: ∫eaxdx = eax/a + c.
  • 3הקדומה של 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + c.
  • 4אינטגרל מסוים: F(b) - F(a) - גבול עליון פחות תחתון.
  • 5שטח: כש-f > 0 האינטגרל הוא השטח - למשל ∫₀¹ eˣ = e - 1 ו-∫₁e (1/x) = 1.
מפתח פתרונות (תרגול)

    אינטגרל ושטח בבסיס e. אחרי ההצבה בדקו אם השטח יצא מתחת לציר.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי