אינטגרל ושטח - מעריכי ולוגריתמי

השטח שמתחת ל־e^x ול־1/x

לפונקציה המעריכית קדומה יוצאת דופן: ∫e^x dx = e^x + c - היא קדומה של עצמה. לזו עם מקדם ∫e^axdx = e^ax/a + c, ולפונקציה 1/x הקדומה היא הלוגריתם הטבעי ∫(1/x)dx = ln|x| + c. עם המשפט היסודי ∫ₐᵇf = F(b) − F(a) אלה נותנים לנו את השטח בין הגרף לציר ה-x. הזיזו את הגבולות במעבדה וצפו בשטח הכלוא מתחת ל-e^x או ל-1/x משתנה בזמן אמת.

מעבדת השטח בחרו f = e^x או f = 1/x, הזיזו את הגבולות a ו-b וצפו בשטח ∫ₐᵇ f

f(x) = e^x

F(x) = e^x שטח ∫ₐᵇ f - גבולות -

הפונקציה f(x)e^x

גבול תחתון a0

גבול עליון b1

כמה שטח כלוא מתחת ל-e^x? הפונקציה המעריכית e^x מתפרצת כלפי מעלה, אבל השטח שמתחתיה מ-0 עד 1 יוצא מספר צנוע ומדויק: e − 1 ≈ 1.718. הסוד הוא שהקדומה של e^x היא e^x עצמה, ולכן ∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1. אצל 1/x הקדומה היא ln x, וכך ∫₁^e (1/x)dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 - שטח של בדיוק 1. שתי קדומות מיוחדות שהופכות חישוב שטח למופת של אלגנטיות.

מבט מקרוב

האנטומיה של שטח מעריכי

לכל שטח מתחת לגרף אותם שלבים בדיוק: מזהים את הפונקציה, מוצאים קדומה F (עבור e^x הקדומה היא e^x), מציבים את הגבול העליון פחות התחתון ומחסרים F(b) − F(a). הנה המפה המלאה על הדוגמה ∫₀¹ e^x dx = e − 1 ≈ 1.718:

שלבי החישוב - על ∫₀¹ e^x dx = e − 1

^x F(1) = e¹ ≈ 2.718 F(0) = e⁰ = 1

נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את האינטגרל המעריכי והלוגריתמי

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחישוב שטח מתחת ל-e^x ול-1/x, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו במעבדה שלמעלה להחליף בין e^x ל-1/x ולהזיז את הגבולות, וצפו איך השטח ∫ₐᵇ f משתנה.

הקדומה של e^x

הפונקציה המעריכית היא קדומה של עצמה: ∫e^x dx = e^x + c, כי (e^x)' = e^x. זו התכונה שמייחדת את בסיס e ועושה כל חישוב שטח קצר במיוחד.

הקדומה של e^ax

כשיש מקדם במעריך מחלקים בו: ∫e^axdx = e^ax/a + c. למשל ∫e^2xdx = e^2x/2 + c. גוזרים חזרה לבדיקה: (e^2x/2)' = e^2x.

הקדומה של 1/x

הקדומה של 1/x היא הלוגריתם הטבעי בערך מוחלט: ∫(1/x)dx = ln|x| + c, כי (ln x)' = 1/x. הערך המוחלט מכסה גם x < 0.

המשפט היסודי

השטח מחושב מקדומה בלבד: ∫ₐᵇf = F(b) − F(a) - מציבים גבול עליון פחות תחתון. בכתיב מקוצר [F(x)]ₐᵇ = F(b) − F(a).

שטח בין גרף לציר x

כאשר f > 0 בקטע, האינטגרל המסוים שווה בדיוק לשטח הכלוא בין הגרף לציר ה-x. גם e^x וגם 1/x חיוביות בקטעים שלנו, ולכן האינטגרל = השטח.

חישוב השטח בפועל

מחברים הכול: מזהים קדומה, מציבים גבולות, מחסרים. בדוגמה ∫₁^e (1/x)dx = [ln x]₁^e = ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1 - שטח של בדיוק 1.

f = e^x

f = e^x → קדומה e^x, השטח מ-0 עד 1 הוא e − 1

f = 1/x

f = 1/x → קדומה ln|x|, השטח מ-1 עד e הוא 1

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מוצאים קדומה, ובאינטגרל מסוים מציבים גבולות ומחסרים F(b) − F(a).

דוגמה 1∫₀¹ e^x dx

קדומה: ∫e^x dx = e^x, כי (e^x)' = e^x.
הצבת גבולות: לפי המשפט היסודי [e^x]₀¹ = e¹ − e⁰.
חיסור: e − 1, שהרי e⁰ = 1.
∫₀¹ e^x dx = e − 1 ≈ 1.718 - השטח בין הגרף לציר ה-x מ-0 עד 1.

דוגמה 2∫₁^e (1/x) dx

קדומה: ∫(1/x)dx = ln|x|, כי (ln x)' = 1/x.
הצבת גבולות: [ln x]₁^e = ln e − ln 1.
חיסור: ln e = 1 ו-ln 1 = 0, ולכן 1 − 0.
∫₁^e (1/x) dx = 1 - שטח של בדיוק 1 בין הגרף לציר ה-x.

דוגמה 3∫e^2x dx

הכלל: ∫e^axdx = e^ax/a + c, וכאן a = 2.
הצבה: מחלקים במקדם המעריך: e^2x/2 + c.
בדיקה בגזירה: (e^2x/2)' = e^2x - בדיוק המבוקש.
∫e^2x dx = e^2x/2 + c.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (קדומה ואינטגרל ישיר), יישום (אינטגרל מסוים ושטח), ורמת בגרות (חישוב שטח מלא עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר השטח".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1e^x קדומה של עצמה: ∫e^x dx = e^x + c.
2מקדם במעריך: ∫e^axdx = e^ax/a + c.
3הקדומה של 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + c.
4המשפט היסודי: ∫ₐᵇf = F(b) − F(a) - עליון פחות תחתון.
5שטח: כש-f > 0 האינטגרל המסוים הוא השטח - למשל ∫₀¹ e^x = e − 1 ו-∫₁^e (1/x) = 1.

מפתח פתרונות (תרגול)