פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות · חקירה · תרגול מדורג

תרגול חקירה עם e ו-ln

כל מה שלמדנו על חקירת פונקציות עם e^x ו-ln x - תחום ההגדרה (e^x לכל x, ו-ln x רק ל-x > 0), האסימפטוטות (אופקית y = 0 ל-x/e^x, אנכית x = 0 ל-x - ln x), הנגזרת עם (e^x)' = e^x ו-(ln x)' = 1/x, ונקודות הקיצון מ-f'(x) = 0 ומבחן סימן - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מתחום ואסימפטוטה ועד חקירה מלאה. זכרו את הסדר: תחום ← אסימפטוטות ← נגזרת ← קיצון ← מגמה.

מעבדת החקירה - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך הנכון - תחום, אסימפטוטה, נגזרת וקיצון

בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: קובעים תחום, מוצאים אסימפטוטה, גוזרים עם (e^x)' = e^x ו-(ln x)' = 1/x, ופותרים f'(x) = 0 לקיצון. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". תחום · אסימפטוטה · נגזרת · קיצון

איפה העקומה מפסיקה לטפס? קחו את f(x) = x/e^x. המונה x גדל לאט, אבל המכנה e^x מתפוצץ - ולכן הפונקציה מטפסת, מגיעה לשיא, ואז צונחת ומתקרבת לאסימפטוטה האופקית y = 0 בלי לגעת בה. איפה בדיוק השיא? גוזרים בכלל המנה: f'(x) = (1 - x)/e^x. מכיוון ש-e^x > 0 תמיד, הנגזרת מתאפסת רק כאשר 1 - x = 0, כלומר x = 1 - שם המקסימום (1, 1/e). נזכיר כאן את השיטה, ומשם לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירה מעריכית - תזכורת

נזכר שוב בשיטה: בכל חקירה נפגשים אותם מרכיבים - תחום ההגדרה, אסימפטוטות, ונקודת קיצון שבה הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x/e^x, שנגזרתה f'(x) = (1 - x)/e^x מתאפסת ב-x = 1 - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

מרכיבי החקירה - על f(x) = x/e^x: מקסימום ב-(1, 1/e ≈ 0.37) ואסימפטוטה אופקית y = 0

^x f'(x) = (1 - x)/e^x מתאפסת ב-x = 1 → קיצון

תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות של כיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מתחום ההגדרה, דרך האסימפטוטות והנגזרות (e^x)' = e^x ו-(ln x)' = 1/x, ועד נקודות הקיצון, מבחן הסימן והמגמה. ואז לתרגול המדורג.

תחום ההגדרה

הפונקציה e^x מוגדרת לכל x, אבל ln x רק ל-x > 0. לכן ב-f(x) = x/e^x התחום הוא כל x, וב-f(x) = x - ln x התחום הוא x > 0.

אסימפטוטה אופקית

כאשר x → ∞ המכנה e^x גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן x/e^x → 0. זו אסימפטוטה אופקית y = 0 - קו שהגרף מתקרב אליו בלי לגעת.

אסימפטוטה אנכית

ב-f(x) = x - ln x, כאשר x → 0⁺ מתקיים ln x → -∞ ולכן f → +∞. הקו x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית - הגבול של התחום.

הנגזרת ואפסיה

גוזרים לפי (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x וכלל המנה. ב-f = x/e^x יוצא f'(x) = (1 - x)/e^x. מאפסים: e^x > 0, לכן צריך 1 - x = 0, כלומר x = 1.

נקודות קיצון

במקום שבו f' = 0 ומשנה סימן - יש קיצון. ב-x/e^x הנגזרת חיובית לפני x = 1 ושלילית אחריו, ולכן זהו מקסימום: (1, 1/e ≈ 0.37).

מגמה ומבחן סימן

סימן הנגזרת קובע: f' > 0 עלייה, f' < 0 ירידה. ב-x - ln x מתקיים f' = 1 - 1/x, המתאפסת ב-x = 1 - מינימום ב-(1, 1).

x/e^x

x/e^x ← מקסימום (1, 1/e), אסימפטוטה אופקית y = 0

x - ln x

x - ln x ← מינימום (1, 1), אסימפטוטה אנכית x = 0

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות מלאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: תחום, אסימפטוטות, גזירה עם (e^x)' = e^x ו-(ln x)' = 1/x, ופתרון f'(x) = 0. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1f(x) = x/e^x - מציאת המקסימום

תחום ואסימפטוטה: e^x ≠ 0 תמיד, לכן התחום הוא כל x; וכאשר x → ∞ מתקיים x/e^x → 0 - אסימפטוטה אופקית y = 0.
נגזרת (כלל המנה): f'(x) = (1·e^x - x·e^x)/(e^x)² = (1 - x)/e^x.
פותרים f'(x) = 0: e^x > 0, לכן 1 - x = 0 ומכאן x = 1.
סוג הקיצון: לפני x = 1 הנגזרת חיובית, אחריו שלילית - מקסימום.
f(1) = 1/e ≈ 0.37 - מקסימום ב-(1, 1/e), אסימפטוטה אופקית y = 0.

דוגמה 2f(x) = x - ln x - מציאת המינימום

תחום ואסימפטוטה אנכית: ln x מוגדרת רק ל-x > 0, לכן התחום x > 0; וכאשר x → 0⁺ מתקיים ln x → -∞ ולכן f → +∞ - אסימפטוטה x = 0.
נגזרת: עם (ln x)' = 1/x יוצא f'(x) = 1 - 1/x.
פותרים f'(x) = 0: 1 - 1/x = 0, ומכאן x = 1.
f(1) = 1 - ln 1 = 1 - 0 = 1, וממבחן סימן זהו מינימום ב-(1, 1).

דוגמה 3סימן הנגזרת f'(x) = (1 - x)/e^x

המכנה תמיד חיובי: e^x > 0 לכל x, ולכן הסימן של f' נקבע רק על ידי המונה 1 - x.
עלייה: כאשר x < 1 מתקיים 1 - x > 0, ולכן f' > 0 - הפונקציה עולה.
ירידה: כאשר x > 1 מתקיים 1 - x < 0, ולכן f' < 0 - הפונקציה יורדת.
מעבר מעלייה לירידה ב-x = 1 → מקסימום, כפי שקיבלנו: (1, 1/e).

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: תחום, אסימפטוטה והצבה ישירה; גזירה עם (e^x)' = e^x ו-(ln x)' = 1/x ומציאת קיצון; חקירה רב-שלבית ומגמה; ועד שאלת בגרות מלאה ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על אותה שיטה (תחום, אסימפטוטות, נגזרת וקיצון מ-f'(x) = 0), והתשובות המספריות יוצאות מדויקות או מעוגלות לפי ההנחיה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה" שמחשבת תחום, אסימפטוטה, נגזרת וקיצון. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1תחום: e^x לכל x; ln x רק ל-x > 0.
2אסימפטוטות: x/e^x → 0 (אופקית y = 0); x = 0 אנכית ב-x - ln x.
3נגזרות: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x.
4קיצון: f' = 0 ומשנה סימן - מקסימום ב-x/e^x ב-(1, 1/e).
5מגמה: f' > 0 עלייה, f' < 0 ירידה - מינימום ב-x - ln x ב-(1, 1).

מפתח פתרונות (תרגול)