חקירת פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות

לחקור עקומה עם e ו-ln

חקירת פונקציה מלאה עובדת אותו הדבר גם כשמופיעים e^x ו-ln x: מוצאים את התחום, את האסימפטוטות, גוזרים ומאפסים f'(x) = 0 כדי לאתר נקודות קיצון, ובודקים היכן הפונקציה עולה ויורדת. בדוגמה f(x) = x/e^x הנגזרת היא f'(x) = (1 − x)/e^x, מתאפסת ב-x = 1, ויש מקסימום ב-(1, 1/e ≈ 0.37) עם אסימפטוטה אופקית y = 0. הזיזו את הנקודה במעבדה וראו את הקיצון והאסימפטוטה חיים.

מעבדת החקירה הזיזו את x וראו את נקודת הקיצון ואת האסימפטוטה האופקית y=0

f(x) = x/e^x

f'(x) = (1 − x)/e^x קיצון - אסימפטוטה - f(x) בנקודה -

הפונקציה f(x)x/e^x

הנקודה x1

איפה העקומה מפסיקה לטפס? קחו את f(x) = x/e^x. כשמתקדמים לימין, המונה x גדל לאט אבל המכנה e^x מתפוצץ - ולכן הפונקציה מטפסת קצת, מגיעה לשיא, ואז צונחת ומתקרבת לציר ה-x בלי לגעת בו. איך יודעים בדיוק היכן השיא? גוזרים: f'(x) = (1 − x)/e^x. מכיוון ש-e^x > 0 תמיד, הנגזרת מתאפסת רק כאשר 1 − x = 0, כלומר x = 1. שם, ורק שם, נמצא המקסימום (1, 1/e). זו כל החקירה בזעיר אנפין: נגזרת → אפסים → קיצון → מגמה.

מבט מקרוב

האנטומיה של חקירת פונקציה

לכל חקירה אותם שלבים בדיוק: מוצאים את התחום, מזהים אסימפטוטות, גוזרים ומאפסים f'(x) = 0 כדי למצוא נקודות קיצון, ובודקים סימן של f' כדי לקבוע עלייה/ירידה. הנה המפה המלאה על הדוגמה f(x) = x/e^x, עם המקסימום ב-(1, 1/e ≈ 0.37):

שלבי החקירה - על f(x) = x/e^x

^x f'(x) = (1 − x)/e^x מתאפסת ב-x = 1 ⇐ קיצון

נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב חקירת פונקציה

שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בחקירת פונקציות עם e^x ו-ln x, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את הנקודה תוך כדי קריאה, וראו כיצד הנגזרת מתאפסת בדיוק בנקודת הקיצון.

תחום ההגדרה

הפונקציה המעריכית e^x מוגדרת לכל x, אבל ln x מוגדרת רק ל-x > 0. לכן ב-f(x) = x − ln x התחום הוא x > 0, וב-f(x) = x/e^x התחום הוא כל x.

אסימפטוטה אופקית

כאשר x → ∞ המכנה e^x גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן x/e^x → 0. זו אסימפטוטה אופקית y = 0 - קו שהגרף מתקרב אליו בלי לגעת.

אסימפטוטה אנכית

ב-f(x) = x − ln x, כאשר x → 0⁺ מתקיים ln x → −∞, ולכן f → +∞. הקו x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית - הגבול של התחום.

הנגזרת ואפסיה

גוזרים לפי הכללים (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x וכלל המנה. ב-f = x/e^x מקבלים f'(x) = (1 − x)/e^x. מאפסים: מכיוון ש-e^x > 0, צריך 1 − x = 0, כלומר x = 1.

נקודות קיצון

במקום שבו f' = 0 ומשנה סימן - יש קיצון. ב-x/e^x הנגזרת חיובית לפני x = 1 ושלילית אחריו, ולכן זהו מקסימום: (1, 1/e ≈ 0.37).

עלייה וירידה

סימן הנגזרת קובע את המגמה: f' > 0 עלייה, f' < 0 ירידה. ב-x − ln x מתקיים f' = 1 − 1/x, המתאפסת ב-x = 1 - מינימום ב-(1, 1).

x/e^x

x/e^x ← מקסימום (1, 1/e), אסימפטוטה אופקית y=0

x − ln x

x − ln x ← מינימום (1, 1), אסימפטוטה אנכית x=0

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: תחום, אסימפטוטות, נגזרת, אפסים, קיצון.

דוגמה 1f(x) = x/e^x - מציאת המקסימום

תחום: e^x ≠ 0 תמיד, ולכן התחום הוא כל x.
נגזרת (כלל המנה): f'(x) = (1·e^x − x·e^x)/(e^x)² = (1 − x)/e^x.
אפסים: e^x > 0, לכן f' = 0 ⇔ 1 − x = 0 ⇔ x = 1.
סוג הקיצון: לפני x = 1 הנגזרת חיובית, אחריו שלילית - מקסימום.
f(1) = 1/e ≈ 0.37 - מקסימום ב-(1, 1/e), ואסימפטוטה אופקית y = 0.

דוגמה 2f(x) = x − ln x - מציאת המינימום

תחום: ln x מוגדרת רק ל-x > 0, ולכן התחום הוא x > 0.
אסימפטוטה אנכית: כאשר x → 0⁺ מתקיים ln x → −∞, ולכן f → +∞ - אסימפטוטה x = 0.
נגזרת: f'(x) = 1 − 1/x, ומאפסים: 1 − 1/x = 0 ⇔ x = 1.
f(1) = 1 − ln 1 = 1 − 0 = 1 - מינימום ב-(1, 1).

דוגמה 3סימן הנגזרת f'(x) = (1 − x)/e^x

המכנה תמיד חיובי: e^x > 0 לכל x, ולכן הסימן של f' נקבע רק על ידי 1 − x.
עלייה: כאשר x < 1 מתקיים 1 − x > 0, ולכן f' > 0 - הפונקציה עולה.
ירידה: כאשר x > 1 מתקיים 1 − x < 0, ולכן f' < 0 - הפונקציה יורדת.
מעבר מעלייה לירידה ב-x = 1 ⇐ מקסימום, כפי שקיבלנו: (1, 1/e).

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (תחום, נגזרת, ערך), יישום (אפסי הנגזרת ואסימפטוטות), ורמת בגרות (חקירה מלאה עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר החקירה".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1תחום: e^x לכל x; ln x רק ל-x > 0.
2אסימפטוטות: x/e^x → 0 (אופקית y=0); x=0 אנכית ב-x − ln x.
3נגזרות: (e^x)' = e^x, (ln x)' = 1/x.
4קיצון: f' = 0 ומשנה סימן - מקסימום ב-x/e^x ב-(1, 1/e).
5מגמה: f' > 0 עלייה, f' < 0 ירידה - מינימום ב-x − ln x ב-(1, 1).

מפתח פתרונות (תרגול)