הפונקציה המעריכית והלוגריתמית · בסיס e · תרגול מדורג

תרגול e^x, ln x וחוקי הלוגריתמים

כל מה שלמדנו על הפונקציות בבסיס e - ההופכיות ln(e^x) = x ו-e^{ln x} = x, חוקי הלוגריתמים שמפרקים כפל לחיבור ln(xy) = ln x + ln y, חילוק לחיסור ln(x/y) = ln x - ln y וחזקה למקדם ln(xⁿ) = n·ln x, ופתרון משוואות מעריכיות ולוגריתמיות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב ערך ישיר ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. זכרו את השיטה: מזהים אם צריך הופכיות או חוק לוגריתמים, מיישמים אותו, ומפשטים או פותרים.

מעבדת תרגול - בחרו את התשובה בחרו בכל שורה את הערך או הזהות הנכונה

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. השיטה קבועה: משתמשים בהופכיות (ln(e^x) = x, e^{ln x} = x) ובחוקי הלוגריתמים - כפל הופך לחיבור, חילוק לחיסור, וחזקה למקדם. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה".

מה מבטל את מה? חשבו על e^x ו-ln x כשתי פעולות הופכיות, בדיוק כמו העלאה בריבוע והוצאת שורש. אם תעלו את e בחזקת מספר ואז תיקחו ln - תחזרו למספר: ln(e³) = 3. ואם תיקחו ln של מספר ואז תעלו את e בחזקת התוצאה - שוב חזרתם: e^{ln 5} = 5. וחוקי הלוגריתמים נותנים קסם נוסף: הם מפרקים כפל לחיבור, וחזקה למקדם - ln 8 = ln(2³) = 3·ln 2. נרענן כאן את השיטה, ואחר כך לתרגול המדורג.

מבט מקרוב

האנטומיה של פונקציות הופכיות - תזכורת

נזכר שוב: הופכיות פירושה שיקוף על הישר y = x. הנקודה (a, b) על גרף e^x הופכת לנקודה (b, a) על גרף ln x. תחום ההגדרה של e^x הוא כל x והערכים חיוביים; ב-ln x להפך - התחום x > 0 והערכים כל y. הנה המפה על הזוג (0, 1) ב-e^x המשתקף אל (1, 0) ב-ln x - אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.

שיקוף על y = x - הנקודה (0, 1) על e^x ↔ (1, 0) על ln x

^x y = ln x (0, 1) (1, 0) 1 0

תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה כללים שנותנים שליטה מלאה ב-e^x, ב-ln x ובחוקי הלוגריתמים של כיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מההופכיות, דרך חוקי המכפלה, המנה והחזקה, ועד פתרון משוואות מעריכיות ולוגריתמיות. עברו עליהם, ואז לתרגול המדורג.

הופכיות: e^x ו-ln x מבטלות זו את זו

הרכבה של הפונקציות מחזירה את המספר: ln(e^x) = x וגם e^{ln x} = x. למשל ln(e³) = 3 ו-e^{ln 5} = 5. זהו הכלי המרכזי לפתרון משוואות.

חוק המכפלה: ln(xy) = ln x + ln y

לוגריתם של מכפלה שווה לסכום הלוגריתמים - הכפל הופך לחיבור: ln(xy) = ln x + ln y. למשל ln 6 = ln(2·3) = ln 2 + ln 3.

חוק המנה: ln(x/y) = ln x - ln y

לוגריתם של מנה שווה להפרש הלוגריתמים - החילוק הופך לחיסור: ln(x/y) = ln x - ln y. ובפרט ln(1/y) = -ln y.

חוק החזקה: ln(xⁿ) = n·ln x

לוגריתם של חזקה - המעריך יורד ונעשה מקדם בכפל: ln(xⁿ) = n·ln x. למשל ln 8 = ln(2³) = 3·ln 2. זה מה שמאפשר "להוריד" נעלם מהמעריך.

פתרון משוואה מעריכית

כשהבסיסים שווים, המעריכים שווים: מ-e^x = e² נובע x = 2. ובמשוואה כמו 2^x = 8 כותבים 8 = 2³ ומקבלים x = 3.

פתרון משוואה לוגריתמית

מפעילים e על שני האגפים כדי לבטל את ln. מ-ln x = 0 נובע x = e⁰ = 1. תמיד בודקים שהתשובה בתחום ההגדרה x > 0.

y = e^x

e^x - מעריכית: תחום כל x, ערכים חיוביים, עולה

y = ln x

ln x - לוגריתמית: תחום x > 0, הבבואה על y = x

נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: משתמשים בהופכיות (ln ו-e מבטלות זו את זו) ובחוקי הלוגריתמים כדי לפשט או לפתור. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1ln(e³) = ?

מזהים הרכבה הופכית: ln של e בחזקה מבטל את המעריכית.
לפי הכלל: ln(e^x) = x, ולכן ln(e³) = 3.
נימוק חלופי: חוק החזקה נותן ln(e³) = 3·ln e = 3·1 = 3, כי ln e = 1.
ln(e³) = 3.

דוגמה 2e^{ln 5} = ?

מזהים הרכבה הופכית: העלאת e בחזקת ln מבטלת את הלוגריתם.
לפי הכלל: e^{ln x} = x, ולכן e^{ln 5} = 5.
אזהרת תחום: הכלל תקף כי 5 > 0 - ל-ln מותר להיכנס רק מספר חיובי.
e^{ln 5} = 5.

דוגמה 32^x = 8

מאחדים בסיס: כותבים את הצד הימני כחזקה של 2: 8 = 2³.
משווים מעריכים: מ-2^x = 2³ ובסיסים שווים נובע x = 3.
בדיקה: 2³ = 8 ✓.
x = 3.

תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חוקי הלוגריתמים ומשוואות בבסיס e

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: ערכי ln ו-e ישירים; חוקי לוגריתמים ומשוואות פשוטות; שרשור חוקים ומשוואות מורחבות; ועד שאלת בגרות רב-שלבית ואיתור טעות. כל השאלות מבוססות על ההופכיות וחוקי הלוגריתמים, והתשובות המספריות יוצאות נקיות בנקודות שבהן e או ln נותנים ערך מדויק. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר ה-ln / e" שמחשבת ערכים, מיישמת חוקי לוגריתמים ופותרת משוואות. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

שליטה

0חדש

0בלימוד

0בחזרה

0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

1הופכיות: ln(e^x) = x וגם e^{ln x} = x.
2מכפלה: ln(xy) = ln x + ln y.
3מנה: ln(x/y) = ln x - ln y.
4חזקה: ln(xⁿ) = n·ln x - למשל ln 8 = 3·ln 2.
5משוואות: בסיסים שווים ⇐ מעריכים שווים (e^x = e² → x = 2); ובלוגריתמית מפעילים e (ln x = 0 → x = 1).

מפתח פתרונות (תרגול)