תרגול מקום גאומטרי
כל מה שלמדנו על מקום גאומטרי - נקודה כללית (x, y), נוסחת המרחק (x-a)² + (y-b)², תנאי מרחק שווה משתי נקודות שנותן ישר (חוצה-אנך), תנאי סכום ריבועי מרחקים קבוע שנותן מעגל, ומשוואת המעגל (x-p)² + (y-q)² = r² שממנה קוראים מרכז ורדיוס - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד שאלת בגרות רב-שלבית. זכרו את השיטה: נקודה כללית, מתרגמים את התנאי למשוואה, פותחים ריבועים, מפשטים ומזהים את הצורה.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים את התנאי, כותבים נקודה כללית (x, y), מתרגמים למשוואה ומזהים את הצורה - מרכז ורדיוס של מעגל, או הישר שוֹוה-המרחק. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". (x - p)² + (y - q)² = r²
איזו צורה מציירות הנקודות? כל תנאי מקום מיתרגם למשוואה, וכל משוואה מגלה צורה. מרחק שווה משתי נקודות נותן ישר - חוצה-האנך של הקטע, למשל שוֹוה-המרחק מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא x = 2. סכום ריבועי מרחקים קבוע נותן מעגל, למשל הסכום השווה ל-20 מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא (x-2)² + y² = 6 - מעגל שמרכזו (2, 0) ורדיוסו 6. השיטה כאן בקצרה, ואז תרגול מדורג.
האנטומיה של מציאת מקום - תזכורת
נזכר שוב בשיטה: מציבים נקודה כללית (x, y), כותבים את המרחקים בעזרת נוסחת המרחק, מתרגמים את התנאי למשוואה, פותחים ריבועים ומפשטים - וזהים את הצורה. הנה המפה על הדוגמה (x-2)² + y² = 6 - סכום ריבועי המרחקים מ-(0,0) ומ-(4,0) שווה 20: מעגל שמרכזו (2, 0) ורדיוסו 6. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
ששת עמודי התווך
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה במקום גאומטרי של כיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהו מקום, נוסחת המרחק, תנאי מרחק שווה (ישר), סכום ריבועי מרחקים (מעגל), משוואת המעגל, ומרחק קבוע מנקודה (מעגל). ואז לתרגול המדורג.
מהו מקום גאומטרי
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תנאי נתון. מתחילים תמיד מנקודה כללית (x, y) ומחפשים איזה קשר בין x ל-y נובע מהתנאי.
נוסחת המרחק
המרחק בין (x, y) ל-(a, b) הוא (x-a)² + (y-b)². לרוב נוח לעבוד עם ריבוע המרחק כדי להיפטר מהשורש.
מרחק שווה ← ישר
מרחק שווה משתי נקודות מבטל את הריבועים ומשאיר קשר לינארי - ישר. המקום שוֹוה-המרחק מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא הישר x = 2, חוצה-האנך של הקטע.
סכום ריבועי מרחקים ← מעגל
אם סכום ריבועי המרחקים משתי נקודות קבוע, נשארים איברי x² ו-y² - סימן למעגל. הסכום השווה ל-20 מ-(0,0) ומ-(4,0) נותן (x-2)² + y² = 6.
משוואת המעגל
מעגל שמרכזו (p, q) ורדיוסו r: (x-p)² + (y-q)² = r². מהצורה הזו קוראים ישירות מרכז ורדיוס. ב-(x-2)² + y² = 6 המרכז (2, 0) והרדיוס 6.
מרחק קבוע מנקודה ← מעגל
המקום שכל נקודותיו במרחק קבוע r מנקודה אחת הוא בדיוק מעגל. מרחק קבוע 3 מ-(0,0) נותן x² + y² = 9 - מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 3.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: נקודה כללית (x, y), תרגום התנאי למשוואה, פתיחת ריבועים, פישוט וזיהוי הצורה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- נקודה כללית: נדרוש מ-(x, y) מרחק שווה: x² + y² = (x-4)² + y².
- מעלים בריבוע: x² + y² = x² - 8x + 16 + y².
- מצמצמים: x² ו-y² מתבטלים, נשאר 0 = -8x + 16.
- x = 2 - ישר אנכי, חוצה-האנך של הקטע.
- נקודה כללית: (x² + y²) + ((x-4)² + y²) = 20.
- פותחים: 2x² - 8x + 2y² + 16 = 20.
- מחלקים ב-2: x² - 4x + y² = 2.
- משלימים ריבוע: (x-2)² - 4 + y² = 2 ← (x-2)² + y² = 6.
- מעגל שמרכזו (2, 0) ורדיוסו 6.
- נקודה כללית: x² + y² = 3.
- מעלים בריבוע: x² + y² = 9.
- זיהוי: זו משוואת מעגל (x-0)² + (y-0)² = 3².
- מעגל שמרכזו בראשית (0, 0) ורדיוסו 3.
תרגול מדורג - מקום גאומטרי
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (מרכז, רדיוס ומרחק); יישום (זיהוי הצורה ובניית המשוואה); מוגברת (חוצה-אנך ואמצע, בניית מעגל ומרכז); ורמת בגרות (פתרון מלא עם השלמת ריבוע ואיתור טעות). כל השאלות מבוססות על אותה שיטה, והתשובות המספריות יוצאות שלמות או מעוגלות לפי ההנחיה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המקום" שמחשבת מרכז, רדיוס ומשוואת מעגל מסכום ריבועי מרחקים. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1נקודה כללית: מתחילים מ-(x, y) ומתרגמים את התנאי למשוואה.
- 2נוסחת המרחק: (x-a)² + (y-b)² - לרוב עובדים עם הריבוע.
- 3מרחק שווה: משתי נקודות ← ישר (למשל x = 2).
- 4סכום ריבועי מרחקים קבוע: ← מעגל (למשל (x-2)²+y²=6).
- 5משוואת מעגל: (x-p)²+(y-q)²=r² - מרכז (p,q), רדיוס r.
