אוסף הנקודות שמקיימות תנאי
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות במישור שמקיימות תנאי נתון - ולכל תנאי מתאימה משוואה שמתארת צורה. כותבים נקודה כללית (x, y), מתרגמים את התנאי למשוואה, מפשטים - והצורה מתגלה. תנאי של מרחק שווה משתי נקודות נותן ישר: המקום שוֹוה-המרחק מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא x = 2. תנאי של סכום ריבועי מרחקים קבוע נותן מעגל: הסכום השווה ל-20 מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא (x−2)² + y² = 6. במעבדה גררו את הנקודה ותנו לה להשאיר עקבות רק כשהתנאי מתקיים - וראו את הצורה נולדת.
איפה כל הנקודות האלה? חשבו על נקודה שמתהלכת במישור וכל הזמן שומרת על כלל אחד - למשל: להיות במרחק שווה משני עצים נתונים. בכל רגע היא במקום חוקי אחד בלבד, ואוסף כל המקומות החוקיים מצייר קו. במרחק שווה משני עצים תמיד תקבלו את חוצה-האנך של הקטע ביניהם - ישר. אם במקום זה נדרוש שסכום ריבועי המרחקים משני העצים יישאר קבוע, הנקודה תסתובב סביבם ותסמן מעגל. זה בדיוק מקום גאומטרי: לוקחים תנאי, מתרגמים לנקודה כללית (x, y), ומגלים איזו צורה נוצרת.
האנטומיה של מציאת מקום גאומטרי
לכל מקום גאומטרי אותם שלבים: מציבים נקודה כללית (x, y), כותבים את המרחקים בעזרת נוסחת המרחק, מתרגמים את התנאי למשוואה, פותחים ריבועים ומפשטים - וזהים את הצורה. הנה המפה המלאה על הדוגמה (x−2)² + y² = 6 - סכום ריבועי המרחקים מ-(0,0) ומ-(4,0) שווה 20:
מה מרכיב מקום גאומטרי
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה במציאת מקום גאומטרי, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו לשנות במעבדה שלמעלה את התנאי תוך כדי קריאה, וצפו איך אותה נקודה מציירת פעם ישר ופעם מעגל.
מהו מקום גאומטרי
מקום גאומטרי הוא אוסף כל הנקודות המקיימות תנאי נתון - לא פחות ולא יותר. מתחילים תמיד מנקודה כללית (x, y) ומחפשים איזה קשר בין x ל-y נובע מהתנאי.
נוסחת המרחק
המרחק בין (x, y) ל-(a, b) הוא (x−a)² + (y−b)². כמעט כל תנאי מקום נכתב באמצעותה, ולרוב נוח לעבוד עם ריבוע המרחק כדי להיפטר מהשורש.
תנאי מרחק שווה ← ישר
אם דורשים מרחק שווה משתי נקודות, השורשים מצטמצמים והריבועים מתבטלים - נשאר קשר לינארי. המקום שוֹוה-המרחק מ-(0,0) ומ-(4,0) הוא הישר x = 2, חוצה-האנך של הקטע.
סכום ריבועי מרחקים ← מעגל
אם סכום ריבועי המרחקים משתי נקודות קבוע, נשארים איברי x² ו-y² - סימן למעגל. הסכום השווה ל-20 מ-(0,0) ומ-(4,0) נותן (x−2)² + y² = 6.
משוואת המעגל
מעגל שמרכזו (p, q) ורדיוסו r: (x−p)² + (y−q)² = r². מהצורה הזו קוראים ישירות מרכז ורדיוס. ב-(x−2)² + y² = 6 המרכז (2, 0) והרדיוס 6.
מרחק קבוע מנקודה ← מעגל
המקום שכל נקודותיו במרחק קבוע r מנקודה אחת הוא בדיוק מעגל. מרחק קבוע 3 מ-(0,0) נותן x² + y² = 9 - מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 3.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: נקודה כללית (x, y), תרגום התנאי למשוואה, פתיחת ריבועים, פישוט וזיהוי הצורה.
- נקודה כללית: נדרוש מ-(x, y) מרחק שווה: x² + y² = (x−4)² + y².
- מעלים בריבוע: x² + y² = (x−4)² + y² = x² − 8x + 16 + y².
- מצמצמים: x² ו-y² מתבטלים, נשאר 0 = −8x + 16.
- x = 2 - ישר אנכי, חוצה-האנך של הקטע.
- נקודה כללית: (x² + y²) + ((x−4)² + y²) = 20.
- פותחים: x² + y² + x² − 8x + 16 + y² = 20, כלומר 2x² − 8x + 2y² + 16 = 20.
- מחלקים ב-2: x² − 4x + y² + 8 = 10, כלומר x² − 4x + y² = 2.
- משלימים ריבוע: (x−2)² − 4 + y² = 2 ← (x−2)² + y² = 6.
- מעגל שמרכזו (2, 0) ורדיוסו 6.
- נקודה כללית: x² + y² = 3.
- מעלים בריבוע: x² + y² = 9.
- זיהוי: זו משוואת מעגל (x−0)² + (y−0)² = 3².
- מעגל שמרכזו בראשית (0, 0) ורדיוסו 3.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (מרכז ורדיוס, מרחק ישיר), יישום (זיהוי הצורה ובניית משוואת מקום), ורמת בגרות (פתרון מלא עם השלמת ריבוע). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המקום".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1נקודה כללית: תמיד מתחילים מ-(x, y) ומתרגמים את התנאי למשוואה.
- 2נוסחת המרחק: (x−a)² + (y−b)² - לרוב עובדים עם הריבוע.
- 3מרחק שווה: משתי נקודות ← ישר (למשל x = 2).
- 4סכום ריבועי מרחקים קבוע: ← מעגל (למשל (x−2)²+y²=6).
- 5משוואת מעגל: (x−p)²+(y−q)²=r² - מרכז (p,q), רדיוס r.
