תרגול מעגלים משיקים לישרים ולצירים
כל מה שלמדנו על משיקות מעגל - משיק לציר ה-x כאשר |b| = r, משיק לציר ה-y כאשר |a| = r, משיק לישר כאשר d(מרכז, ישר) = r, ובניית משוואת המעגל (x-a)² + (y-b)² = r² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מהצבה ישירה ועד שאלת בגרות רב-שלבית. זכרו את השיטה: מזהים את המרחק הרלוונטי (לציר או לישר), משווים אותו לרדיוס, ובונים את משוואת המעגל.
בכל שורה בחרו את הערך הנכון. השיטה קבועה: מזהים את המרחק הרלוונטי (לציר: |a| או |b|; לישר: הנוסחה), משווים אותו לרדיוס, ובונים את משוואת המעגל. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". (x-a)² + (y-b)² = r²
איך יודעים אם מעגל נוגע בקו בלי לצייר? משווים מרחק לרדיוס. מעגל משיק לישר כאשר המרחק מהמרכז אל הישר שווה בדיוק לרדיוס r; אם המרחק גדול מ-r המעגל רחוק מדי ולא נוגע, ואם קטן מ-r הישר חותך את המעגל בשתי נקודות. עבור הצירים זה מתקצר: משיק לציר ה-x כאשר |b| = r, ולציר ה-y כאשר |a| = r. למשל המרחק מ-(3, 4) לישר 3x + 4y = 0 הוא |9 + 16|/5 = 5. נזכיר כאן את השיטה, ואז לתרגול המדורג.
האנטומיה של מעגל משיק - תזכורת
נזכר שוב: בכל שאלת משיקות אותו רעיון - משווים בין מרחק המרכז לבין הרדיוס. במעגל שמרכזו (3, 4) המרחק מהמרכז לציר ה-x הוא |b| = 4, ולכן המעגל משיק לציר ה-x כאשר r = 4, והמשוואה נבנית מיד: (x-3)² + (y-4)² = 16. אותה תמונה תלווה אתכם בכל שאלה בתרגול.
ששת עמודי התווך
שישה כלים שנותנים שליטה מלאה בשאלות משיקות של מעגלים בכיתה יב׳ (5 יח״ל), בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשוואת המעגל, דרך משיקות לצירים, ועד המרחק מנקודה לישר והמשיקות לישר כללי. ואז לתרגול המדורג.
משוואת המעגל
מעגל שמרכזו (a, b) ורדיוסו r נתון על ידי (x-a)² + (y-b)² = r². כל תנאי משיקות מתורגם בסוף למשוואה הזו, אחרי שמוצאים את r.
משיק לציר ה-x
המרחק האנכי של המרכז (a, b) מציר ה-x הוא |b|. לכן המעגל משיק לציר ה-x כאשר |b| = r. דוגמה: מרכז (3, 4) נותן r = 4.
משיק לציר ה-y
באותו אופן, המרחק האופקי של המרכז מציר ה-y הוא |a|. המעגל משיק לציר ה-y כאשר |a| = r. אם |a| = |b| - המעגל משיק לשני הצירים.
משיק לשני הצירים
כאשר |a| = |b| = r המעגל נוגע בשני הצירים גם יחד. דוגמה: מרכז (2, 2) נותן r = 2, והמעגל (x-2)² + (y-2)² = 4.
מרחק מנקודה לישר
המרחק מנקודה (x₀, y₀) לישר Ax + By + C = 0 הוא |Ax₀ + By₀ + C| / A² + B². זהו הכלי המרכזי לבדיקת משיקות לישר כללי.
משיק לישר כללי
המעגל משיק לישר כאשר המרחק מהמרכז אל הישר שווה ל-r. אם המרחק גדול מ-r אין נגיעה, ואם קטן מ-r יש חיתוך בשתי נקודות. דוגמה: המרחק מ-(3, 4) לישר 3x + 4y = 0 הוא 5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. השיטה קבועה וחוזרת: מזהים את המרחק הרלוונטי (לציר או לישר), משווים אותו לרדיוס, ובונים את משוואת המעגל. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- המרחק לציר: המרחק מהמרכז (3, 4) לציר ה-x הוא |b| = |4| = 4.
- תנאי משיקות: משיק לציר ה-x פירושו |b| = r, ולכן r = 4.
- בניית המשוואה: (x-3)² + (y-4)² = r² = 16.
- (x-3)² + (y-4)² = 16 - מעגל ברדיוס 4 המשיק לציר ה-x.
- המרחק לצירים: המרחק לציר ה-y הוא |a| = 2, והמרחק לציר ה-x הוא |b| = 2.
- תנאי כפול: כדי להיות משיק לשני הצירים צריך |a| = |b| = r, וכאן 2 = 2 - מתקיים.
- הרדיוס והמשוואה: r = 2, ולכן (x-2)² + (y-2)² = 4.
- r = 2 - מעגל המשיק לציר ה-x ולציר ה-y גם יחד.
- נוסחת המרחק: d = |A·x₀ + B·y₀ + C| / A² + B² עם A = 3, B = 4, C = 0.
- הצבה: d = |3·3 + 4·4 + 0| / 3² + 4² = |9 + 16| / 25.
- חישוב: |25| / 5 = 5.
- d = 5 - ולכן מעגל ברדיוס 5 סביב (3, 4) משיק לישר 3x + 4y = 0.
תרגול מדורג - מעגלים משיקים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסוד (רדיוס ממרחק לציר); יישום (משוואת מעגל ומרחק לישר); מוגברת (מרחק לישר, סיווג ובנייה); ורמת בגרות (שאלה רב-שלבית ואיתור טעות). כל השאלות מבוססות על אותה שיטה, והתשובות המספריות יוצאות שלמות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל המשיק" שמחשבת רדיוס ומשוואת מעגל לפי תנאי המשיקות. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משוואת מעגל: (x-a)² + (y-b)² = r², מרכז (a, b) ורדיוס r.
- 2משיק לציר x: |b| = r - המרחק האנכי של המרכז מהציר.
- 3משיק לציר y: |a| = r - המרחק האופקי של המרכז מהציר.
- 4שני הצירים: |a| = |b| = r יחד.
- 5משיק לישר: d(מרכז, ישר) = r, כאשר d = |Ax₀+By₀+C|/A²+B² (d > r אין נגיעה, d < r חיתוך).
