מתי מעגל נוגע בישר בדיוק בנקודה אחת
מעגל משיק לישר אם הוא נוגע בו בנקודה אחת בלבד - וזה קורה בדיוק כשהמרחק מן המרכז אל הישר שווה לרדיוס r. מכאן שני מקרים פרטיים קלים: מעגל משיק לציר ה-x אם |b| = r (המרחק האנכי של המרכז מהציר), ומשיק לציר ה-y אם |a| = r. הזיזו את המעגל במעבדה - הוא יאיר ברגע שהמרחק למרכז יישווה בדיוק לרדיוס.
איפה בדיוק מעגל נוגע בקו? דמיינו כדור מונח על רצפה: הוא נוגע ברצפה בנקודה אחת בלבד. אותו רעיון בדיוק בגיאומטריה אנליטית - מעגל משיק לישר כאשר הוא נוגע בו בנקודה יחידה, ולא חותך אותו בשתיים. התנאי פשוט להפליא: d(מרכז, ישר) = r. אם המרחק גדול מ-r המעגל רחוק מדי ולא נוגע; אם קטן מ-r הישר חותך את המעגל בשתי נקודות; ורק כשהמרחק שווה בדיוק ל-r מתקבלת משיקות מושלמת. עבור הצירים זה מתקצר עוד: מספיק לבדוק את |a| ואת |b| של המרכז.
האנטומיה של מעגל משיק לציר
לכל שאלת משיקות אותו רעיון: משווים בין מרחק המרכז לבין הרדיוס. במעגל שמרכזו (3,4) המרחק מהמרכז לציר ה-x הוא |b| = 4, ולכן המעגל משיק לציר ה-x כאשר r = 4. מכאן המשוואה נבנית מיד: (x−3)² + (y−4)² = 16. הנה המפה המלאה:
מה קובע משיקות של מעגל
שישה מושגים שנותנים שליטה מלאה בשאלות משיקות של מעגלים, בדיוק כפי שהם נדרשים ב-5 יח״ל. נסו במעבדה שלמעלה להזיז את מרכז המעגל, וצפו איך המרחק לציר או לישר מתאזן עם הרדיוס ברגע המשיקות.
משוואת המעגל
מעגל שמרכזו (a,b) ורדיוסו r נתון על ידי (x−a)² + (y−b)² = r². כל התנאים על משיקות מתורגמים בסופו של דבר למשוואה הזו, אחרי שמוצאים את r.
משיק לציר ה-x
המרחק האנכי של המרכז (a,b) מציר ה-x הוא |b|. לכן המעגל משיק לציר ה-x כאשר |b| = r. דוגמה: מרכז (3,4) נותן r = 4.
משיק לציר ה-y
באותו אופן, המרחק האופקי של המרכז מציר ה-y הוא |a|. המעגל משיק לציר ה-y כאשר |a| = r. אם מרכז מקיים |a| = |b| - המעגל משיק לשני הצירים.
משיק לשני הצירים
כאשר |a| = |b| = r המעגל נוגע בשני הצירים גם יחד. דוגמה: מרכז (2,2) נותן r = 2, והמעגל (x−2)² + (y−2)² = 4 משיק לציר ה-x ולציר ה-y.
מרחק מנקודה לישר
המרחק מנקודה (x₀,y₀) לישר Ax + By + C = 0 הוא |Ax₀ + By₀ + C| חלקי A² + B². זהו הכלי המרכזי לבדיקת משיקות לישר כללי.
משיק לישר כללי
המעגל משיק לישר כאשר המרחק מהמרכז אל הישר שווה ל-r. דוגמה: המרחק מ-(3,4) לישר 3x + 4y = 0 הוא |9 + 16|/5 = 5, ולכן מעגל בעל רדיוס 5 סביב (3,4) משיק לישר זה.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד, בסגנון בגרות של 5 יח״ל. שימו לב לשיטה - היא חוזרת: מזהים את המרחק הרלוונטי (לציר או לישר), משווים אותו לרדיוס, ובונים את משוואת המעגל.
- המרחק לציר: המרחק מהמרכז (3,4) לציר ה-x הוא |b| = |4| = 4.
- תנאי משיקות: משיק לציר ה-x פירושו |b| = r, ולכן r = 4.
- בניית המשוואה: (x−3)² + (y−4)² = r² = 16.
- (x−3)² + (y−4)² = 16 - מעגל ברדיוס 4 המשיק לציר ה-x.
- המרחק לצירים: המרחק לציר ה-y הוא |a| = 2, והמרחק לציר ה-x הוא |b| = 2.
- תנאי כפול: כדי להיות משיק לשני הצירים צריך |a| = |b| = r, וכאן 2 = 2 - מתקיים.
- הרדיוס: r = 2, והמשוואה (x−2)² + (y−2)² = 4.
- r = 2 - מעגל המשיק לציר ה-x ולציר ה-y גם יחד.
- נוסחת המרחק: d = |A·x₀ + B·y₀ + C| / A² + B² עם A = 3, B = 4, C = 0.
- הצבה: d = |3·3 + 4·4 + 0| / 3² + 4² = |9 + 16| / 25.
- חישוב: |25| / 5 = 5.
- d = 5 - ולכן מעגל ברדיוס 5 סביב (3,4) משיק לישר 3x + 4y = 0.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף בשלוש רמות: יסוד (רדיוס ממרחק לציר), יישום (משוואת מעגל ומרחק לישר), ורמת בגרות (בנייה מלאה עם נימוק). פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב את המחשבון של נדב כץ - כולל לשונית "פותר המעגל המשיק".
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1משוואת מעגל: (x−a)² + (y−b)² = r², מרכז (a,b) ורדיוס r.
- 2משיק לציר x: |b| = r - המרחק האנכי של המרכז מהציר.
- 3משיק לציר y: |a| = r - המרחק האופקי של המרכז מהציר.
- 4שני הצירים: |a| = |b| = r יחד.
- 5משיק לישר: d(מרכז, ישר) = r, כאשר d = |Ax₀+By₀+C|/A²+B².
