תיבה: שטח פנים ונפח
לתיבה יש 6 פאות, 12 מקצועות ו-8 קדקודים. נפרוש אותה לפריסה ונחבר את שטח כל הפאות - זהו שטח הפנים. אחר כך נמלא אותה בקוביות יחידה ונגלה: נפח = אורך × רוחב × גובה. תיבה 3×4×2 היא 24 קוביות, ושטח הפנים שלה 52.
אותה קופסה, שתי שאלות שונות. נפח שואל כמה קוביות נכנסות בפנים - לכן מכפילים אורך × רוחב × גובה. שטח פנים שואל כמה נייר צריך כדי לעטוף את הקופסה מבחוץ - לכן מחברים את שטח כל שש הפאות. פנים לעומת עטיפה - שני דברים שונים לגמרי.
שלושת חלקי התיבה
לכל תיבה יש שלושה סוגי חלקים. פאה היא משטח שטוח (מלבן) - לתיבה יש 6 פאות, וכל שתיים נגדיות שוות זו לזו. מקצוע הוא הקו שבו נפגשות שתי פאות - לתיבה יש 12 מקצועות, ואורכי המקצועות הם האורך, הרוחב והגובה. קדקוד הוא הנקודה שבה נפגשים שלושה מקצועות - לתיבה יש 8 קדקודים (הפינות). ויש בתיבה גם אלכסונים, ובהם צריך להבחין: אלכסון של פאה מונח כולו על מלבן אחד, ואילו אלכסון התיבה (אלכסון מרחבי) עובר מקדקוד אחד אל הקדקוד הנגדי לו, דרך פנים התיבה. כשמכירים את החלקים האלה, קל לפרוש את התיבה ולחשב.
מה חשוב לדעת
שישה כלים קטנים שיהפכו אתכם לאלופי התיבה - שטח פנים ונפח. אחריהם יש פינת הרחבה על הקשר בין משקל לנפח.
פאה, מקצוע, קדקוד
תיבה = 6 פאות (מלבנים) + 12 מקצועות (קווים) + 8 קדקודים (פינות). זה נכון לכל תיבה.
הפריסה
אם פורשים את התיבה שטוח, מקבלים פריסה של 6 מלבנים. שטח הפנים = שטח כל 6 המלבנים ביחד.
שלושה זוגות פאות
הפאות באות ב-3 זוגות שווים: אורך×רוחב, אורך×גובה, רוחב×גובה. לכן שטח פנים = 2×(אורך×רוחב + אורך×גובה + רוחב×גובה).
נפח = מילוי בקוביות
הנפח הוא כמה קוביות יחידה נכנסות בתיבה. שכבה אחת = אורך×רוחב קוביות, ויש גובה שכבות: נפח = אורך×רוחב×גובה.
יחידות המידה
נפח נמדד ביחידות מעוקבות (יח"ק), שטח פנים נמדד ביחידות ריבועיות (יח"ר). לא מבלבלים ביניהם.
אלכסון פאה ואלכסון התיבה
אלכסון של פאה שוכב על מלבן אחד. אלכסון התיבה עובר מקדקוד אל הקדקוד הנגדי דרך פנים התיבה - והוא ארוך יותר מכל קטע אחר שאפשר למתוח בתוך התיבה. (מוט שנכנס באלכסון התיבה - זה האורך המרבי שנכנס.)
הרחבה
קשר בין משקל לנפח
זוהי פינת הרחבה. יש כיתות שלומדות אותה ויש כיתות שמדלגות עליה, ולכן כדאי לשאול את המורה אם היא שייכת לכיתה שלכם.
בפינה הזאת מודדים את המקצועות בסנטימטרים, ולכן את הנפח מודדים בסמ"ק: כל קובייה היא קובייה שכל מקצוע שלה 1 ס"מ. אלה אותן קוביות שספרנו עד עכשיו ביח"ק, רק שעכשיו אנחנו יודעים מה הגודל שלהן.
משקל סגולי של חומר הוא המשקל של סמ"ק אחד ממנו. אם סמ"ק אחד מחומר שוקל 2 גרם, אומרים שהמשקל הסגולי שלו הוא 2 גרם לכל סמ"ק. כשתיבה עשויה כולה מחומר אחד, כל סמ"ק שבה שוקל אותו דבר, ולכן:
משקל התיבה = הנפח × המשקל הסגולי
דוגמה: למטיל זהב (גוש של זהב) צורת תיבה שמידותיה 20 ס"מ, 4 ס"מ ו-5 ס"מ. סמ"ק אחד של זהב שוקל בערך 19 גרם. מה משקל המטיל?
- הנפח: 20 × 4 × 5 = 400 סמ"ק.
- כל סמ"ק שוקל בערך 19 גרם, ולכן: 400 × 19 = 7,600.
- המטיל שוקל בערך 7,600 גרם.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות. שימו לב איך חושבים בכל אחת - פאה אחר פאה, שכבה אחר שכבה.
- שכבה אחת בתחתית = אורך×רוחב = 3 × 4 = 12 קוביות.
- הגובה הוא 2, אז יש 2 שכבות כאלה.
- מכפילים: 12 × 2 = 24 קוביות.
- נפח = 3×4×2 = 24 יח"ק.
- שלושת זוגות הפאות: אורך×רוחב = 3×4 = 12, אורך×גובה = 3×2 = 6, רוחב×גובה = 4×2 = 8.
- מחברים פאה אחת מכל זוג: 12 + 6 + 8 = 26.
- כל פאה מופיעה פעמיים, אז מכפילים ב-2: 2 × 26 = 52.
- שטח פנים = 2×(12+6+8) = 52 יח"ר.
- נפח: 5 × 2 × 3 = 30 יח"ק.
- זוגות הפאות: 5×2 = 10, 5×3 = 15, 2×3 = 6.
- סוכמים ומכפילים ב-2: 2 × (10 + 15 + 6) = 2 × 31 = 62.
- נפח = 30 יח"ק, שטח פנים = 62 יח"ר.
תרגול
שאלות מדורגות: קודם זיהוי פאות, מקצועות וקדקודים והנוסחאות, אחר כך חישוב נפח ושטח פנים ויחידות, ולבסוף השוואה, חקר וחידות רב-שלביות. בסוף יש סט הרחבה על הקשר בין משקל לנפח, למי שלמד את הנושא. בחרו את התשובה הנכונה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה למדנו
- 1חלקי התיבה: 6 פאות, 12 מקצועות, 8 קדקודים.
- 2פריסה: פורשים לתיבה שטוחה של 6 מלבנים.
- 3שטח פנים: 2×(אורך×רוחב + אורך×גובה + רוחב×גובה), ביח"ר.
- 4נפח: אורך×רוחב×גובה, ביח"ק.
- 5אלכסונים: אלכסון פאה שוכב על מלבן אחד; אלכסון התיבה עובר מקדקוד לקדקוד הנגדי דרך הפנים, והוא הארוך מכל קטע בתיבה.
- 6הרחבה, משקל ונפח: משקל התיבה = הנפח × המשקל הסגולי, והמשקל הסגולי הוא משקלו של סמ"ק אחד.
