נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ה׳ יסודי
שברים · כיתה ה׳

צמצום והרחבה של שברים

אותו חלק מהעוגה אפשר לכתוב בהמון דרכים: 810 ו-45 הם בדיוק אותו גודל. בהרחבה כופלים את המונה ואת המכנה באותו מספר, ובצמצום מחלקים את שניהם באותו מספר - ובשתי הפעולות ערך השבר נשמר. נגרור מלבן על רשת, נכפיל ונחלק את שתי הצלעות, ונראה בעיניים איך השבר נשאר אותו שבר.

מלבן שווה-ערך כפלו או חלקו את שתי הצלעות באותו מספר - החלק הצבוע לא משתנה
הרחבה (כפל)
צמצום (חילוק)
כפלו או חלקו את שתי הצלעות - החלק הצבוע לא משתנה

אותו חלק - שמות שונים. קחו מלבן שבו 4 מתוך 5 עמודות צבועות: זה 45. עכשיו חצו כל עמודה לשתיים לאורך: פתאום יש 8 חלקים צבועים מתוך 10 - 810. לא הוספנו ולא הורדנו צבע! רק חילקנו לחלקים קטנים יותר. לכן 810 ו-45 הם אותו שבר - שם אחר לאותו גודל.

מבט מקרוב

למה ערך השבר נשמר

לשבר יש שני חלקים. למטה המכנה - לכמה חלקים שווים חילקנו את השלם. למעלה המונה - כמה מהחלקים לקחנו. בהרחבה אנחנו כופלים גם את המונה וגם את המכנה באותו מספר (חוץ מ-0): כל חלק מתפצל למספר חלקים קטנים יותר, אבל לוקחים בדיוק פי אותו מספר, אז השטח הצבוע לא זז. 45 כפול 2 למעלה ולמטה = 810. בצמצום עושים את ההפך - מחלקים את שניהם באותו מספר: מאחדים חלקים קטנים לחלקים גדולים. 810 לחלק ל-2 = 45. הסוד: כל עוד עושים אותו דבר למעלה ולמטה, ערך השבר לא משתנה.

כופלים או מחלקים מונה ומכנה באותו מספר - הערך נשמר
4 5 = 8 10 × 2 × 2
נכיר צעד אחר צעד

מה חשוב לדעת

שישה כלים קטנים שיהפכו אתכם לאלופי צמצום והרחבה.

1

הרחבה = כפל

כופלים מונה ומכנה באותו מספר (לא 0). 45 ×2 למעלה ולמטה = 810. אותו ערך, מספרים גדולים יותר.

2

צמצום = חילוק

מחלקים מונה ומכנה באותו מספר. 810 : 2 = 45. אותו ערך, מספרים קטנים יותר.

3

הערך נשמר

בשתי הפעולות גודל השבר לא משתנה - רק השם. 45 ו-810 מסמנים אותו חלק מהשלם.

4

מרחיבים למכנה מבוקש

רוצים את 12 עם מכנה 6? שואלים "כפול כמה 2 נותן 6?" - כפול 3. אז כופלים גם למעלה: 12 = 36.

5

מחלק משותף

כדי לצמצם מחפשים מספר שמחלק גם את המונה וגם את המכנה. ב-612 אפשר לחלק את שניהם ב-6: 612 = 12.

6

מצומצם לגמרי

שבר מצומצם לגמרי כשאין יותר מספר שמחלק את שניהם - המונה והמכנה זרים. 45 מצומצם לגמרי; 4 ו-5 אין להם מחלק משותף.

הרחבה
הרחבה: 45 ×2 = 810 - חלקים קטנים יותר, אותו שטח צבוע
צמצום
צמצום: 810 : 2 = 45 - חלקים גדולים יותר, אותו שטח צבוע
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות. שימו לב איך חושבים בכל אחת - מה עושים למעלה ומה למטה.

דוגמה 1צמצמו את השבר 810.
  1. מחפשים מספר שמחלק גם את 8 וגם את 10 - 2 מחלק את שניהם.
  2. מחלקים את המונה: 8 : 2 = 4.
  3. מחלקים את המכנה באותו מספר: 10 : 2 = 5.
  4. בודקים: ל-4 ו-5 אין מחלק משותף - מצומצם לגמרי.
  5. 810 = 45.
דוגמה 2הרחיבו את 12 כך שהמכנה יהיה 6.
  1. שואלים: כפול כמה 2 נותן 6? 2 × 3 = 6, אז כופלים ב-3.
  2. כדי לשמור על הערך כופלים גם את המונה באותו מספר: 1 × 3 = 3.
  3. קיבלנו מכנה 6 בדיוק כמו שרצינו.
  4. 12 = 36.
דוגמה 3צמצמו את 612 עד הסוף.
  1. המספר הגדול ביותר שמחלק גם את 6 וגם את 12 הוא 6.
  2. מחלקים את שניהם ב-6: 6 : 6 = 1 ו-12 : 6 = 2.
  3. אפשר גם בשני צעדים: : 2 נותן 36, ואז : 3 נותן 12 - אותה תוצאה.
  4. ל-1 ו-2 אין מחלק משותף - מצומצם לגמרי.
  5. 612 = 12.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול

ניקוד: 0 / 0

שאלות מדורגות: קודם זיהוי הפעולה וצמצום/הרחבה ישירים, אחר כך יישום - הרחבה למכנה מבוקש וסיפורים, ולבסוף חידות: שברים שווי-ערך, מצומצם לגמרי והנמקה בלי לחשב. בחרו את התשובה הנכונה.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

מה למדנו

  • 1הרחבה: כופלים מונה ומכנה באותו מספר - 45 = 810.
  • 2צמצום: מחלקים מונה ומכנה באותו מספר - 810 = 45.
  • 3הערך נשמר: אותו דבר למעלה ולמטה = אותו גודל שבר, שם אחר.
  • 4מרחיבים למכנה מבוקש: "כפול כמה?" - וכופלים גם את המונה.
  • 5מצומצם לגמרי: אין מחלק משותף - המונה והמכנה זרים.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו למטה ואני אלווה אתכם בכל שלב - נכפיל ונחלק צלעות של מלבן ונגלה שהשבר נשאר אותו שבר.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי