שטח העיגול
נחתוך עיגול לפרוסות דקות כמו של פיצה, נסדר אותן טור מול טור - והן מסתדרות כמעט למלבן. הבסיס של המלבן הוא חצי מהיקף העיגול, והגובה הוא הרדיוס. מכאן מתגלה הנוסחה: שטח = פאי × רדיוס בריבוע. פאי (≈3.14) הוא מספר קבוע שמלווה כל עיגול. נגרור את הרדיוס ונראה איך השטח גדל - ובמיוחד למה הכפלת הרדיוס מגדילה את השטח פי 4. שטח נמדד בסנטימטרים מרובעים (סמ"ר).
עיגול = כמעט מלבן. חותכים עיגול לפרוסות דקות ומסדרים אותן לסירוגין - למעלה, למטה, למעלה - והן נצמדות לצורה שנראית כמו מלבן. הבסיס שלו הוא חצי מההיקף (פאי × רדיוס), והגובה הוא הרדיוס. שטח מלבן = בסיס × גובה, אז שטח העיגול = (פאי × רדיוס) × רדיוס = פאי × רדיוס בריבוע.
רדיוס בריבוע - הלב של הנוסחה
לעיגול יש מספר אחד שקובע הכול: הרדיוס - המרחק מהמרכז אל הקצה. הנוסחה היא שטח = פאי × רדיוס בריבוע, כלומר קודם מעלים את הרדיוס בריבוע (כופלים אותו בעצמו), ואז כופלים בפאי. פאי הוא מספר קבוע ומיוחד - הוא לא נגמר ולא חוזר על עצמו (מספר אי-רציונלי), ולחישוב מספיק לנו ≈3.14. שימו לב לסדר: קודם ריבוע, רק אחר כך כפל בפאי - אחרת התוצאה שגויה. ובגלל הריבוע קורה משהו מפתיע: אם מכפילים את הרדיוס, השטח לא מוכפל אלא גדל פי 4, כי 2² = 4.
מה חשוב לדעת
שישה כלים קטנים שיהפכו אתכם לאלופי שטח העיגול.
הנוסחה
שטח עיגול = פאי × רדיוס בריבוע. רדיוס 5: 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 → 78.5 סמ"ר.
קודם ריבוע, אז פאי
הסדר חשוב: קודם מעלים את הרדיוס בריבוע (כופלים בעצמו), ורק אז כופלים ב-≈3.14. לא כופלים קודם בפאי.
פאי - מספר קבוע
פאי מלווה כל עיגול, לא נגמר ולא חוזר (מספר אי-רציונלי). לחישוב מספיק ≈3.14.
הכפלת הרדיוס → פי 4
בגלל הריבוע, אם מכפילים את הרדיוס השטח גדל פי 4. רדיוס 5 → 78.5, רדיוס 10 → 3.14 × 100 = 314.
חצי עיגול וטבעת
חצי עיגול = שטח העיגול : 2. טבעת = שטח העיגול הגדול פחות שטח העיגול הקטן שבתוכו.
אומדן קודם
לפני החישוב מעריכים: פאי קצת יותר מ-3, אז השטח בערך 3 × רדיוס בריבוע. לרדיוס 5: בערך 3×25=75, קרוב ל-78.5. בודקים שהתשובה הגיונית.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות. שימו לב לסדר בכל אחת - קודם ריבוע, אחר כך כפל בפאי, ובסוף בדיקת סבירות.
- הנוסחה: שטח = פאי × רדיוס בריבוע.
- קודם ריבוע הרדיוס: 5² = 5 × 5 = 25.
- כופלים בפאי: 3.14 × 25 = 78.5.
- היחידה של שטח היא סמ"ר.
- השטח הוא 78.5 סמ"ר.
- שטח לרדיוס 5: 3.14 × 25 = 78.5 סמ"ר.
- שטח לרדיוס 10: קודם ריבוע 10² = 100, ואז 3.14 × 100 = 314 סמ"ר.
- משווים: 314 : 78.5 = 4. הרדיוס הוכפל, אבל השטח גדל פי 4 - כי 2² = 4.
- השטח גדל פי 4 (מ-78.5 ל-314 סמ"ר).
- קודם מחשבים שטח עיגול שלם: 3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314 סמ"ר.
- חצי עיגול הוא בדיוק חצי מהעיגול השלם, אז מחלקים ב-2.
- מחלקים: 314 : 2 = 157.
- שטח חצי העיגול הוא 157 סמ"ר.
תרגול
שאלות מדורגות: קודם הפעלת הנוסחה וזיהוי הרדיוס, אחר כך בעיות מילוליות, חצי עיגול וטבעת ואומדן, ולבסוף חשיבה על "פי 4", חשיבה הפוכה וזיהוי טעויות נפוצות. בחרו את התשובה הנכונה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה למדנו
- 1הנוסחה: שטח עיגול = פאי × רדיוס בריבוע, נמדד בסמ"ר.
- 2הסדר: קודם מעלים את הרדיוס בריבוע, ורק אז כופלים בפאי (≈3.14).
- 3פאי: מספר קבוע ומיוחד לכל עיגול - אי-רציונלי, לחישוב ≈3.14.
- 4הכפלת הרדיוס: מגדילה את השטח פי 4, כי 2² = 4. דוגמה: 78.5 → 314.
- 5חצי עיגול וטבעת: חצי עיגול = השטח : 2; טבעת = עיגול גדול פחות עיגול קטן.
