כל המספרים על ציר אחד
לאורך כל בית הספר היסודי הכרנו כמה "משפחות" של מספרים - טבעיים (1, 2, 3), שברים פשוטים (12, 34) ושברים עשרוניים (0.5, 2.75). עכשיו נגלה סוד גדול: כולם גרים על אותו ציר אחד, לכל אחד יש מקום מדויק, ובין כל שני מספרים תמיד יש עוד. נגרור סמן לאורך הציר ונראה איך שבר, עשרוני ומספר שלם הם בעצם אותו מקום; ואז ניקח טעימה ראשונה של תנועות על הציר - טמפרטורה שעולה ויורדת אל מתחת לאפס.
אותו מקום - שלוש שפות. נראה שיש הרבה סוגי מספרים, אבל על הציר 12, 0.5 ו"חצי הדרך בין 0 ל-1" הם בדיוק אותה נקודה. הם לא שלושה מספרים - הם מספר אחד בשלוש כתיבות. וזה נכון לכולם: 34 יושב בדיוק על 0.75, ו-2.0 יושב בדיוק על השלם 2.
ציר אחד, מקום לכל מספר
הציר הוא קו ישר עם 0 ו-1 מסומנים, וכל מרווח בין שני שלמים מחולק לחלקים שווים. מספר טבעי יושב על סימן שלם. שבר אומר לאיזה חלק בתוך המרווח להגיע - 34 הוא שלושה מתוך ארבעה צעדים מ-0 ל-1. שבר עשרוני עושה בדיוק אותו דבר בשפת העשיריות - 0.75 הוא שבעים וחמש מאיות מהדרך. לכן 34 ו-0.75 נופלים על אותה נקודה. תכונה מפתיעה: הציר צפוף - בין כל שני מספרים, קרובים ככל שיהיו, אפשר תמיד למצוא עוד אחד (בין 0.5 ל-0.6 יש את 0.55, ובאמצע שוב עוד אחד, ללא סוף). ומשמאל ל-0? שם מתחילה טעימה של מספרים מכוונים - כמו טמפרטורה מתחת לאפס. את אלה נלמד רשמית בכיתה ז׳; כאן רק מרגישים אותם כתנועה על הציר.
מה חשוב לדעת
שישה כלים קטנים שיחברו לכם את כל משפחות המספרים לתמונה אחת על הציר.
ציר אחד לכולם
טבעיים, שברים ועשרוניים חיים על אותו ציר. לכל מספר יש מקום אחד ומדויק - מספר קטן יותר תמיד שמאלה מגדול ממנו.
אותו מקום, שתי כתיבות
שבר ועשרוני יכולים לסמן את אותה נקודה: 12 = 0.5, 34 = 0.75. אותו מספר - שפה שונה.
שלם הוא גם עשרוני
מספר טבעי הוא מקרה פרטי: 2 הוא גם 2.0 וגם 21. המשפחות לא נפרדות - הן שכבות של אותה מערכת.
הציר צפוף
בין כל שני מספרים תמיד יש עוד אחד. בין 0.5 ל-0.6 יש את 0.55, וביניהם עוד - אין "המספר הבא" אחרי שבר.
שמאלה = פחות
ככל שהולכים שמאלה על הציר המספר קטן יותר. משמאל ל-0 מתחילים המספרים מתחת לאפס - כמו מעלות בחורף.
תנועה על הציר
לעלות = לזוז ימינה, לרדת = לזוז שמאלה. מ-3 מעלות יורדים 5 ומגיעים ל-2 מתחת לאפס. את המספרים המכוונים נלמד רשמית בכיתה ז׳.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות. הראשונה מזהה שני מספרים כאותה נקודה, השנייה מסדרת משפחות שונות על ציר אחד, והשלישית לוקחת טעימה של תנועה מתחת לאפס.
- 34 אומר: חלקו את הדרך מ-0 ל-1 לארבעה חלקים שווים, וקחו שלושה מהם.
- נתרגם לעשיריות: כל רבע הוא 0.25 מהדרך, אז שלושה רבעים הם 0.25 × 3 = 0.75.
- שני הכתיבים מובילים בדיוק לאותה נקודה על הציר - שלושה רבעים מהדרך בין 0 ל-1.
- כן - 34 = 0.75: אותו מספר בשתי שפות.
- נתרגם את כולם לאותה שפה - עשיריות: 14 = 0.25, השלם 1 = 1.0.
- עכשיו כולם באותה כתיבה: 0.25 , 0.5 , 0.8 , 1.0.
- על הציר, קטן יותר = שמאלה יותר. מסדרים מהשמאלי ביותר.
- הסדר: 14 , 0.5 , 0.8 , 1.
- המדחום הוא ציר אנכי: אפס באמצע, חם למעלה, קר למטה.
- מתחילים ב-3° ויורדים - זזים כלפי מטה. שלוש המעלות הראשונות מחזירות אותנו בדיוק ל-0°.
- נשארו עוד 5 − 3 = 2 מעלות לרדת, וזה כבר מתחת לאפס.
- המדחום מראה 2° מתחת לאפס - טעימה ראשונה של מספר מכוון.
תרגול
שאלות מדורגות: קודם זיהוי מקום וכתיב שקול על הציר, אחר כך יישום - סדר, השוואה וצפיפות, ולבסוף חשיבה על צפיפות, מיקום ותנועות מתחת לאפס בלי חישוב מסובך. בחרו את התשובה הנכונה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
מה למדנו
- 1ציר אחד לכולם: טבעיים, שברים ועשרוניים גרים על אותו ציר, לכל מספר מקום מדויק.
- 2אותו מקום, שפות שונות: 34 = 0.75, והשלם 2 = 2.0.
- 3שמאלה = קטן יותר: ממיינים ומשווים לפי המקום על הציר.
- 4הציר צפוף: בין כל שני מספרים תמיד יש עוד אחד - אין "המספר הבא".
- 5תנועה על הציר: מ-3° יורדים 5° ומגיעים ל-2° מתחת לאפס - טעימה של מספרים מכוונים.
