נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ז׳ חטיבת הביניים
אלגברה בגאומטריה

ביטוי כללי לשטח ולהיקף

במקום מספר קבוע, נותנים לצלע שם: x. פתאום ההיקף והשטח הופכים לביטוי אלגברי שמתאים לכל ערך של הצלע. נלמד להביע היקף ושטח ב-x, ולבדוק מה קורה לשטח כשמכפילים צלע.

מלבן משתנה גררו את x וצפו בהיקף 4x−6 ובשטח x²−3x משתנים יחד
אורך = x רוחב = x−3 x² − 3x
אורך x · רוחב x−3
הצבה נוכחית: x = 8
ערך הצלע (x)8
היקף
4x − 6
= 26
שטח
x² − 3x
= 40

מלבן שאף אחד לא מדד. אורך המלבן הוא x ורוחבו x - 3. איננו יודעים כמה זה בדיוק - אבל אפשר עדיין לכתוב את ההיקף: 2(x + x - 3) = 4x - 6, ואת השטח: x(x - 3) = x² - 3x. ביטוי אחד עונה על כל ערך של x.

מבט מקרוב

אנטומיה של מלבן ב-x

לכל מלבן אורך ורוחב. כאן האורך הוא x והרוחב x - 3. ההיקף הוא סכום כל הצלעות, והשטח הוא מכפלת האורך ברוחב. כשמציבים ערך ל-x, הביטוי הופך למספר.

החלקים של מלבן משתנה
x אורך x−3 רוחב x² − 3x שטח = אורך · רוחב היקף 4x − 6
נכיר צעד אחר צעד

מה בונה ביטוי כללי

שישה מושגים מהאלגברה של כיתה ז: מהצלע המסומנת ב-x ועד השפעת ההכפלה על השטח.

1

צלע כמשתנה

במקום מספר קבוע נותנים לצלע שם: x. עכשיו כל תוצאה נכתבת כביטוי שתלוי ב-x, ומתאים לכל אורך אפשרי.

2

היקף מלבן ב-x

ההיקף הוא פעמיים סכום האורך והרוחב. למלבן x על x - 3: 2(x + x - 3) = 4x - 6.

3

שטח מלבן ב-x

השטח הוא מכפלת האורך ברוחב. כאן: x(x - 3) = x² - 3x. פותחים סוגריים לפי חוק הפילוג.

4

ריבוע ב-x

בריבוע שצלעו x, כל הצלעות שוות: ההיקף הוא 4x והשטח הוא x².

5

הצבת ערך בביטוי

מציבים מספר במקום x ומחשבים. במלבן שלנו, עבור x = 5: היקף 4·5 - 6 = 14, שטח 5·(5-3) = 10.

6

הכפלת צלע והשפעה על השטח

מכפילים צלע אחת פי 2 - השטח גדל פי 2. מכפילים את שתי הצלעות פי 2 - השטח גדל פי 4. בריבוע שצלעו גדלה פי 3, השטח גדל פי 9.

x x−3 x²−3x
היקף מול שטח
היקף = סכום הצלעות · שטח = מכפלת הצלעות
x² 4x² ×2
הכפלת צלעות
הכפלת שתי צלעות פי 2 מגדילה שטח פי 4
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מזהים אורך ורוחב, כותבים ביטוי, פותחים סוגריים ומפשטים.

דוגמה 1היקף מלבן: אורך x, רוחב x − 3
  1. נוסחת ההיקף: פעמיים סכום האורך והרוחב: 2(x + (x - 3)).
  2. מכנסים בתוך הסוגריים: x + x - 3 = 2x - 3, ולכן 2(2x - 3).
  3. פותחים סוגריים (חוק הפילוג): 2·2x - 2·3 = 4x - 6.
  4. ההיקף הוא 4x - 6.
דוגמה 2שטח מלבן: אורך x, רוחב x − 3
  1. נוסחת השטח: אורך כפול רוחב: x(x - 3).
  2. פותחים סוגריים: מכפילים את x בכל איבר: x·x - x·3.
  3. מפשטים: x² - 3x.
  4. השטח הוא x² - 3x.
דוגמה 3ריבוע שצלעו x - הצלע גדלה פי 3
  1. שטח לפני: ריבוע שצלעו x, שטחו x².
  2. הצלע גדלה פי 3: הצלע החדשה היא 3x, ושטחו (3x)² = 3x·3x.
  3. מחשבים: (3x)² = 9x² - כלומר פי 9 מהשטח המקורי.
  4. הכפלת הצלע פי 3 מגדילה את השטח פי 9.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1היקף: פעמיים סכום הצלעות, למשל 2(x + x - 3) = 4x - 6.
  • 2שטח: מכפלת האורך ברוחב, למשל x(x - 3) = x² - 3x.
  • 3ריבוע: צלע x → היקף 4x, שטח x².
  • 4הצבה: מציבים ערך ל-x והביטוי הופך למספר.
  • 5הכפלת צלע: שתי צלעות פי 2 → שטח פי 4; צלע ריבוע פי 3 → שטח פי 9.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את x, וראו את ההיקף ואת השטח משתנים בקצב שונה לגמרי.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי