תרגול משפט פיתגורס
כל מה שלמדנו על המשולש ישר-הזווית - הניצבים והיתר, הנוסחה a² + b² = c², מציאת יתר משני ניצבים ומציאת ניצב מהיתר, המשפט ההפוך והיישומים - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הכלל: מחפשים יתר - מחברים את ריבועי הניצבים; מחפשים ניצב - מחסרים מריבוע היתר; ובסוף תמיד מוציאים שורש.
בכל שורה בחרו את הצלע החסרה לפי משפט פיתגורס (a² + b² = c²). מחפשים יתר - מחברים ריבועים; מחפשים ניצב - מחסרים; ובסוף מוציאים שורש. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". יתר = a² + b² · ניצב = c² - a²
מחברים או מחסרים? אותו משולש ישר-זווית, שתי שאלות שונות. "מהו היתר?" - מחברים את ריבועי שני הניצבים ומוציאים שורש: c = a² + b². "מהו ניצב חסר?" - מחסרים מריבוע היתר ומוציאים שורש: b = c² - a². שתיהן אותו משפט בן אלפי שנים, a² + b² = c². בדף הזה נחזור במהירות על הנוסחאות.
האנטומיה של משולש ישר-זווית - תזכורת
למשולש ישר-זווית יש זווית אחת של 90°. שתי הצלעות שיוצרות אותה הן הניצבים (a ו-b), והצלע שמול הזווית הישרה - הצלע הארוכה ביותר - היא היתר (c). משפט פיתגורס מקשר בין שלושתן: a² + b² = c². בכל שאלה, זהו קודם מי היתר ומי הניצבים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום משפט פיתגורס של כיתה ז, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מזיהוי הצלעות, דרך מציאת יתר וניצב, ועד המשפט ההפוך והיישום במערכת הצירים.
ניצבים ויתר
הניצבים (a ו-b) יוצרים את הזווית הישרה. היתר (c) נמצא מול הזווית של 90° והוא הצלע הארוכה ביותר.
הנוסחה a² + b² = c²
סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר. עם ניצבים 3 ו-4 מקבלים 9 + 16 = 25, ולכן c = 5.
מחפשים יתר
כשמכירים את שני הניצבים, היתר הוא c = a² + b². אם הסכום ריבוע שלם - השורש יוצא מספר שלם, למשל 25 = 5.
מחפשים ניצב
כשמכירים את היתר וניצב אחד, מחלצים את השני: b = c² - a². עם יתר 13 וניצב 5: 169 - 25 = 144 = 12.
המשפט ההפוך
אם במשולש מתקיים a² + b² = c² - המשולש ישר-זווית. כך בודקים אם שלוש צלעות נתונות יוצרות זווית ישרה (למשל 6, 8, 10).
יישום: אורך קטע במערכת צירים
קטע שאינו מקביל לצירים הוא היתר של משולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים. בין (0, 0) ל-(3, 4) הניצבים הם 3 ו-4, ולכן אורך הקטע הוא 5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב מתי מחברים ומתי מחסרים, ושתמיד מוציאים שורש בסוף. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים: נתונים שני הניצבים, מחפשים את היתר c.
- מציבים בנוסחה: c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- מוציאים שורש: c = 25 = 5.
- היתר הוא c = 5.
- מזהים: נתונים היתר וניצב אחד, מחפשים את הניצב השני b.
- מחסרים: b² = c² - a² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144.
- מוציאים שורש: b = 144 = 12.
- הניצב השני הוא b = 12.
- מזהים ניצבים: ההליכה מזרחה וההליכה צפונה מאונכות זו לזו, ולכן הן שני הניצבים.
- מציבים: 12² + 16² = 144 + 256 = 400.
- מוציאים שורש: 400 = 20.
- המרחק בקו ישר מנקודת ההתחלה הוא 20 מטר.
תרגול מדורג - משפט פיתגורס
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יתר וניצב וזיהוי הצלעות; חישוב שני הכיוונים והמשפט ההפוך; יישומים - מערכת צירים, סולם ואלכסון; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל התרגילים משתמשים בשלשות פיתגוריות שלמות, כך שהתשובות יוצאות מספרים שלמים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פיתגורס". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנוסחה: במשולש ישר-זווית a² + b² = c².
- 2היתר נמצא מול הזווית הישרה והוא הצלע הארוכה ביותר.
- 3מחפשים יתר: c = a² + b² - מחברים.
- 4מחפשים ניצב: b = c² - a² - מחסרים.
- 5במערכת צירים: קטע שאינו מקביל לצירים הוא היתר של משולש שניצביו מקבילים לצירים.
| ניצבים | סכום הריבועים | יתר |
|---|---|---|
| 3, 4 | 9 + 16 = 25 | 5 |
| 6, 8 | 36 + 64 = 100 | 10 |
| 5, 12 | 25 + 144 = 169 | 13 |
| 8, 15 | 64 + 225 = 289 | 17 |
| 9, 12 | 81 + 144 = 225 | 15 |
