תרגול נפח ושטח פנים
כל מה שלמדנו על הגופים במרחב - נפח תיבה V = א·ר·ג, נפח קובייה צלע³, שטח פנים S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג), נפח מנסרה משולשת שטח הבסיס · גובה ומה קורה כשמגדילים מידה - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ברמת מבחן. זכרו את ההבחנה: נפח סופר קוביות בתוך הגוף (יחידות מעוקבות), ושטח פנים סוכם את הפאות מהפריסה (יחידות ריבועיות).
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה - נפח או שטח פנים לפי הנוסחה המתאימה (התוצאה ביחידות מעוקבות לנפח, ריבועיות לשטח פנים). השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". נפח תיבה א·ר·ג · נפח קובייה צלע³ · נפח מנסרה שטח הבסיס·גובה · שטח פנים 2(א·ר + א·ג + ר·ג)
אותו גוף, שתי שאלות שונות. "כמה קוביות יחידה ממלאות את הקופסה?" - זו שאלת נפח, המילוי שבפנים (יחידות מעוקבות). "כמה נייר עוטף צריך כדי לכסות את הקופסה?" - זו שאלת שטח פנים, סכום כל הפאות מהפריסה (יחידות ריבועיות). בתיבה: נפח א·ר·ג, שטח פנים 2(א·ר + א·ג + ר·ג). בדף הזה נחזור במהירות על הנוסחאות.
האנטומיה של תיבה - תזכורת
לתיבה שלוש מידות - אורך, רוחב וגובה. יש לה 6 פאות (מלבנים) הנפגשות ב-12 מקצועות וב-8 קודקודים. הפאות הנגדיות שוות זו לזו, ולכן שטח הפנים מורכב משלושה זוגות מלבנים: 2(א·ר + א·ג + ר·ג). קובייה היא תיבה מיוחדת שכל מידותיה שוות.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום הגופים של כיתה ז, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מקוביית היחידה, דרך נפח התיבה והקובייה, שטח הפנים והפריסה, ועד למנסרה המשולשת ולאפקט של הגדלת מידה.
קוביית יחידה ונפח
נפח נמדד בכמה קוביות באורך צלע 1 ממלאות את הגוף. היחידות הן יחידות מעוקבות, למשל סמ³.
נפח תיבה וקובייה
ממלאים שכבה של א·ר קוביות וחוזרים לפי הגובה: V = א·ר·ג. בקובייה כל המידות שוות, ולכן V = צלע³.
פריסה של תיבה
גוזרים את התיבה לאורך המקצועות ומשטחים אותה - מקבלים 6 מלבנים בשלושה זוגות שווים.
שטח פנים
שטח הפנים הוא סכום כל הפאות, ביחידות ריבועיות. בתיבה: S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג); בקובייה 6·צלע².
מנסרה משולשת
שני בסיסים משולשים זהים המחוברים במלבנים. הנפח הוא V = שטח הבסיס · גובה.
הגדלת מידה
הכפלת הגובה פי 2 מכפילה את הנפח פי 2 (הגובה מופיע פעם אחת); הכפלת שתי מידות פי 2 מגדילה את הנפח פי 4.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב: נפח במכפלה (יחידות מעוקבות), שטח פנים כסכום הפאות (יחידות ריבועיות). אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את המידות: אורך 5, רוחב 4, גובה 3.
- ממלאים שכבה: 5·4 = 20 קוביות בשכבה אחת.
- כופלים בגובה: V = 20·3 = 60.
- נפח התיבה הוא 60 יחידות מעוקבות.
- מחשבים שלוש פאות שונות: 5·4 = 20, 5·3 = 15, 4·3 = 12.
- מחברים: 20 + 15 + 12 = 47.
- כופלים ב-2 (זוגות פאות נגדיות): 2·47 = 94.
- שטח הפנים הוא 94 יחידות ריבועיות.
- כותבים את הנוסחה: V = שטח הבסיס · גובה.
- מציבים: שטח הבסיס המשולש 6, גובה המנסרה 10.
- מחשבים: V = 6·10 = 60.
- נפח המנסרה הוא 60 יחידות מעוקבות.
תרגול מדורג - נפח ושטח פנים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: נפח תיבה וקובייה; שטח פנים ומנסרה; הכללה, ממד חסר והגדלת מידות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "פתרון הגוף". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1נפח תיבה: V = אורך · רוחב · גובה - יחידות מעוקבות (קובייה: צלע³).
- 2שטח פנים תיבה: S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג) - יחידות ריבועיות.
- 3פריסה: גוזרים לאורך המקצועות ומקבלים 6 מלבנים בשלושה זוגות.
- 4מנסרה משולשת: V = שטח הבסיס · גובה.
- 5הגדלת מידה: הכפלת הגובה פי 2 מכפילה את הנפח פי 2.
| המצב | הנוסחה | דוגמה |
|---|---|---|
| נפח תיבה | V = א·ר·ג | 5·4·3 = 60 |
| נפח קובייה | V = צלע³ | 3³ = 27 |
| שטח פנים תיבה | S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג) | 2(20+15+12) = 94 |
| נפח מנסרה | V = שטח הבסיס · גובה | 6·10 = 60 |
| הגדלת גובה | גובה ×2 · נפח ×2 | 60 → 120 |
