נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ז׳ חטיבת הביניים
גופים במרחב

נפח ושטח פנים של תיבה ומנסרה

עוברים מהמישור אל המרחב. נלמד לספור כמה קוביות יחידה ממלאות תיבה - זהו הנפח - ולפרוס את הגוף למלבנים כדי לחשב את שטח הפנים. בסוף נכליל את הרעיון גם למנסרה משולשת.

מעבדת הגוף במרחב שנו אורך, רוחב וגובה - וצפו בקוביות ובפריסה משתנות
V = 3 · 3 · 2 = 18
שטח פנים: S = 42
אורך3
רוחב3
גובה2
שכבה של 9 קוביות, כפול 2 בגובה - סך הכול 18 קוביות

כמה קוביות נכנסות? קופסה באורך 5, רוחב 4 וגובה 3 נמלאת בדיוק ב-60 קוביות יחידה - שכבה של 5·4 = 20 קוביות, שלוש פעמים בגובה. זהו הנפח. ואם נפרוס את הקופסה למלבנים ונחבר את שטחיהם - קיבלנו את שטח הפנים.

מבט מקרוב

האנטומיה של תיבה

לתיבה שלוש מידות: אורך, רוחב וגובה. יש לה 6 פאות (מלבנים) הנפגשים ב-12 מקצועות וב-8 קודקודים. הפאות הנגדיות שוות זו לזו, ולכן שטח הפנים מורכב משלושה זוגות מלבנים.

החלקים של תיבה
אורך גובה רוחב 6 פאות 12 מקצועות 8 קודקודים
נכיר צעד אחר צעד

נפח ושטח פנים - הרעיונות

שישה מושגים של כיתה ז: מקוביית היחידה ועד הכללת הנוסחה למנסרה משולשת.

1

קוביית יחידה ונפח

נפח נמדד בכמה קוביות באורך צלע 1 ממלאות את הגוף. היחידות הן יחידות מעוקבות, למשל סמ³.

2

נפח תיבה

ממלאים שכבה של אורך·רוחב קוביות וחוזרים עליה לפי הגובה: V = א·ר·ג.

3

פריסה של תיבה

גוזרים את התיבה לאורך המקצועות ומשטחים אותה - מקבלים 6 מלבנים בשלושה זוגות שווים.

4

שטח פנים

שטח הפנים הוא סכום כל הפאות. בתיבה: S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג).

5

מנסרה משולשת

שני בסיסים משולשים זהים המחוברים במלבנים. הנפח הוא V = שטח הבסיס · גובה.

6

מה קורה כשמגדילים מידה

הכפלת הגובה פי 2 מכפילה את הנפח פי 2, כי הגובה מופיע פעם אחת במכפלה.

V = א·ר·ג
נפח
נפח סופר קוביות בתוך הגוף - יחידות מעוקבות
S = 2(אר+אג+רג)
שטח פנים
שטח פנים סוכם את הפאות מהפריסה - יחידות ריבועיות
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב: נפח במכפלה, שטח פנים כסכום הפאות.

דוגמה 1V = 5 · 4 · 3
  1. מזהים את המידות: אורך 5, רוחב 4, גובה 3.
  2. מכפילים: שכבה של 5·4 = 20 קוביות, כפול 3 בגובה.
  3. מחשבים: V = 20 · 3 = 60.
  4. נפח התיבה הוא 60 יחידות מעוקבות.
דוגמה 2S = 2(5·4 + 5·3 + 4·3)
  1. מחשבים שלוש פאות שונות: 5·4 = 20, 5·3 = 15, 4·3 = 12.
  2. מחברים: 20 + 15 + 12 = 47.
  3. כופלים ב-2 (זוגות פאות נגדיות): 2 · 47 = 94.
  4. שטח הפנים הוא 94 יחידות ריבועיות.
דוגמה 3V = 6 · 10
  1. נוסחת מנסרה: V = שטח הבסיס · גובה.
  2. מציבים: שטח הבסיס המשולש 6, גובה המנסרה 10.
  3. מחשבים: V = 6 · 10 = 60.
  4. נפח המנסרה הוא 60 יחידות מעוקבות.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את מחשבון נדב כץ ולעבור ללשונית פתרון הגוף.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1נפח תיבה: V = אורך · רוחב · גובה, ביחידות מעוקבות.
  • 2שטח פנים תיבה: S = 2(א·ר + א·ג + ר·ג), ביחידות ריבועיות.
  • 3פריסה: גוזרים לאורך המקצועות ומקבלים 6 מלבנים בשלושה זוגות.
  • 4מנסרה משולשת: V = שטח הבסיס · גובה.
  • 5הגדלת מידה: הכפלת הגובה פי 2 מכפילה את הנפח פי 2.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שנו מידות וראו את הקוביות ממלאות את הגוף, ואת הפריסה נפתחת לצידו.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי