נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
גאומטריה · חפיפת משולשים · תרגול מדורג

תרגול חפיפת משולשים

כל מה שלמדנו על חפיפה - שני משולשים חופפים מתלכדים בדיוק (אותה צורה ואותו גודל), ארבעת משפטי החפיפה צ.ז.צ, ז.צ.צ, צ.צ.צ וצלע-צלע-זווית, הסימון △ABC ≅ △DEF, והמסקנה שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מזיהוי משפט בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הכלל: די בשלושה נתונים מתאימים בסדר הנכון כדי לקבוע חפיפה - אבל שלוש זוויות בלבד נותנות דמיון, לא חפיפה.

מעבדת החפיפה - בחרו את המשפט בחרו בכל שורה את משפט החפיפה הנכון (צ.ז.צ / ז.צ.צ / צ.צ.צ) או את החלק המתאים השווה - השורה הראשונה פתורה כדוגמה

בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה בחפיפת משולשים. שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן ← צ.ז.צ; שלוש צלעות ← צ.צ.צ; שתי זוויות והצלע שביניהן ← ז.צ.צ; ומחפיפה נובע שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". צ.ז.צ · ז.צ.צ · צ.צ.צ · צלע-צלע-זווית

חפיפה או דמיון? אותם שני משולשים, שתי שאלות שונות. "אילו שלושה נתונים מספיקים לחפיפה?" - שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן (צ.ז.צ), שתי זוויות והצלע שביניהן (ז.צ.צ), או שלוש צלעות מתאימות (צ.צ.צ). "ומה עם שלוש זוויות שוות?" - כאן אין חפיפה אלא דמיון בלבד: אותה צורה, גודל שיכול להיות שונה. אחרי שמוכיחים חפיפה נובע ממנה שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. בדף הזה נזכיר במהירות את הכללים.

מבט מקרוב

האנטומיה של משפט החפיפה - תזכורת

בסימון △ABC ≅ △DEF סדר האותיות מגלה מי מתאים למי - A מול D, B מול E, C מול F. במשפט צ.ז.צ הזווית חייבת להיות כלואה בין שתי הצלעות: כאן AB = DE, הזווית ∠A = ∠D כלואה, ו-AC = DF. בכל שאלה: קודם מזהים אילו חלקים נתונים שווים, ואז שואלים איזה משפט חל.

זווית כלואה בין שתי צלעות → צ.ז.צ
A B C D E F צלע צלע זווית כלואה ≅ צלע · זווית · צלע → חפיפה
תזכורת לפני התרגול

שש כרטיסיות תזכורת

שישה מושגים מתחום חפיפת המשולשים של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשמעות החפיפה, דרך ארבעת המשפטים, ועד המסקנה שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.

1

מהי חפיפה

שני משולשים חופפים אם אפשר להניח אחד על השני והם מתלכדים בדיוק - אותה צורה ואותו גודל. מסמנים △ABC ≅ △DEF, וסדר האותיות מגלה מי מתאים למי.

2

משפט צ.ז.צ

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. אם AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF - חופפים לפי צלע-זווית-צלע.

3

משפט ז.צ.צ

שתי זוויות והצלע שביניהן. אם ∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F - חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

4

משפט צ.צ.צ

שלוש צלעות מתאימות שוות קובעות משולש יחיד. אם AB = DE, BC = EF, CA = FD - חופפים לפי צלע-צלע-צלע.

5

משפט צלע-צלע-זווית

שתי צלעות והזווית שמול הגדולה שבהן. משמש בעיקר במשולשים ישרי-זווית (צלע-יתר וניצב). שימו לב: זווית לא-כלואה כללית אינה מספיקה.

6

מסקנה מחפיפה

אחרי שמוכיחים חפיפה מסיקים שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות - למשל BC = EF או ∠B = ∠E. שלוש זוויות בלבד נותנות דמיון, לא חפיפה.

צ.ז.צ
הזווית כלואה בין שתי הצלעות → צ.ז.צ
ז.צ.צ
הצלע כלואה בין שתי הזוויות → ז.צ.צ
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש הוכחות, צעד אחר צעד: מזיהוי הנתונים, דרך בחירת המשפט, ועד המסקנה שצלעות וזוויות מתאימות שוות. שימו לב שהזווית ב-צ.ז.צ כלואה, והצלע ב-ז.צ.צ כלואה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.

דוגמה 1AB = DE , ∠A = ∠D , AC = DF
  1. מזהים את הנתונים: שתי צלעות AB = DE ו-AC = DF, והזווית ∠A = ∠D כלואה ביניהן.
  2. בוחרים משפט: צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ), כי הזווית כלואה בין שתי הצלעות המתאימות.
  3. מסקנה: △ABC ≅ △DEF, ולכן צלעות מתאימות שוות: BC = EF.
  4. חופפים לפי צ.ז.צ, ומכאן BC = EF.
דוגמה 2∠B = ∠E , BC = EF , ∠C = ∠F
  1. מזהים את הנתונים: שתי זוויות ∠B = ∠E ו-∠C = ∠F, והצלע BC = EF ביניהן.
  2. בוחרים משפט: זווית-צלע-זווית (ז.צ.צ), כי הצלע כלואה בין שתי הזוויות המתאימות.
  3. מסקנה: △ABC ≅ △DEF, ולכן AB = DE וגם ∠A = ∠D.
  4. חופפים לפי ז.צ.צ, ומכאן כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
דוגמה 3AB = CD , AD = CB , BD משותפת
  1. נתון: AB = CD ו-AD = CB במרובע ABCD, והאלכסון BD מחבר את שני המשולשים.
  2. צלע משותפת: BD = DB (אותה צלע לשני המשולשים).
  3. שלוש צלעות מתאימות שוות: AB = CD, AD = CB, BD = BD.
  4. חופפים לפי צ.צ.צ: △ABD ≅ △CDB, ולכן ∠A = ∠C.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול מדורג - חפיפת משולשים

ניקוד: 0 / 0

ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: זיהוי משפט החפיפה ומושגי היסוד; מסקנות מחפיפה - צלעות וזוויות מתאימות; יישומים והוכחות רב-שלביות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. רוב השאלות הן שאלות בחירה (איזה משפט חל, האם הנתונים מספיקים), ובחלקן חישוב קצר של חלק מתאים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "זיהוי חפיפה". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.
  • 2ז.צ.צ: שתי זוויות והצלע שביניהן.
  • 3צ.צ.צ: שלוש צלעות מתאימות שוות.
  • 4צלע-צלע-זווית: שתי צלעות והזווית מול הגדולה שבהן (בעיקר בישר-זווית).
  • 5מסקנה: מחפיפה נובע שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות; שלוש זוויות בלבד (ז.ז.ז) - דמיון, לא חפיפה.
משפטי החפיפה במבט אחד (שלושה נתונים מתאימים)
משפטהנתוניםקובע חפיפה?
צ.ז.צשתי צלעות והזווית הכלואה ביניהןכן
ז.צ.צשתי זוויות והצלע שביניהןכן
צ.צ.צשלוש צלעות מתאימות שוותכן
צלע-צלע-זוויתשתי צלעות והזווית מול הגדולה (בעיקר בישר-זווית)כן
ז.ז.זשלוש זוויות בלבדלא - דמיון בלבד
צ.צ.ז כללישתי צלעות וזווית לא-כלואה כלליתלא
מפתח פתרונות (תרגול)

    חפיפת משולשים. חפשו אילו חלקים נתונים שווים, ומשם יגיע המשפט.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי