נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
חפיפת משולשים

להוכיח חפיפה

שני משולשים חופפים כשאפשר להניח אחד על השני והם מתלכדים בדיוק. בכיתה ח לומדים ארבעה משפטי חפיפה - צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ וצלע-צלע-זווית - ומתחילים לכתוב הוכחה: נתון, צריך להוכיח, וטענה עם נימוק בכל שלב.

סדנת החפיפה סמנו אילו חלקים נתונים שווים - והמערכת תזהה את משפט החפיפה
A B C D E F
בחרו נתונים
משפט: -
צלעות מתאימות שוות
זוויות מתאימות שוות
סמנו שלושה נתונים מתאימים כדי לזהות משפט חפיפה

למה חפיפה? אם ידועים רק חלק מהצלעות והזוויות, איך אפשר להיות בטוחים ששני משולשים זהים לחלוטין? משפטי החפיפה נותנים כלל: די בשלושה נתונים מתאימים - בסדר הנכון - כדי לקבוע שהמשולשים חופפים, ומכאן שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.

מבט מקרוב

האנטומיה של משפט צ.ז.צ

במשפט צלע-זווית-צלע הזווית חייבת להיות כלואה - כלומר נמצאת בין שתי הצלעות הנתונות. כאן AB = DE, הזווית ∠A = ∠D כלואה, ו-AC = DF. שלושת הנתונים המתאימים גוררים חפיפה, ומהחפיפה נובע ש-BC = EF.

זווית כלואה בין שתי צלעות
A B C D E F צלע צלע זווית כלואה ≅ צלע · זווית · צלע → חפיפה
נכיר צעד אחר צעד

מה בונה הוכחת חפיפה

שישה מושגים של כיתה ח: מה המשמעות של חפיפה, ארבעת משפטי החפיפה, ואיך מנסחים הוכחה מסודרת שבה כל שלב מנומק.

1

מהי חפיפה

שני משולשים חופפים אם אפשר להתאים ביניהם כך שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות. מסמנים △ABC ≅ △DEF, והסדר של האותיות מגלה מי מתאים למי.

2

משפט צ.ז.צ

שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן. אם AB = DE, ∠A = ∠D, AC = DF - המשולשים חופפים לפי צלע-זווית-צלע.

3

משפט ז.צ.צ

שתי זוויות והצלע שביניהן. אם ∠B = ∠E, BC = EF, ∠C = ∠F - חופפים לפי זווית-צלע-זווית.

4

משפט צ.צ.צ

שלוש צלעות מתאימות שוות קובעות משולש יחיד. אם AB = DE, BC = EF, CA = FD - חופפים לפי צלע-צלע-צלע.

5

משפט צלע-צלע-זווית

שתי צלעות והזווית שמול הצלע הגדולה שבהן. משמש בעיקר במשולשים ישרי-זווית (צלע-יתר וניצב). שימו לב: זווית שאינה מול הצלע המתאימה אינה מספיקה.

6

הוכחה ומסקנה

כותבים נתון, צריך להוכיח, ואז שרשרת טענות שבכל אחת נימוק. אחרי שמוכיחים חפיפה מסיקים שצלעות וזוויות מתאימות שוות - למשל BC = EF.

צ.ז.צ
הזווית בין שתי הצלעות → צ.ז.צ
ז.צ.צ
הצלע בין שתי הזוויות → ז.צ.צ
נוכיח יחד

דוגמאות פתורות

שלוש הוכחות, מסודרות לפי שלבי קושי. בכל שלב מציינים את הנתון או את המשפט שממנו הוא נובע - כך נראית הוכחה מנומקת.

דוגמה 1AB = DE , ∠A = ∠D , AC = DF
  1. מזהים את הנתונים: שתי צלעות AB = DE ו-AC = DF, והזווית ∠A = ∠D כלואה ביניהן.
  2. בוחרים משפט: צלע-זווית-צלע (צ.ז.צ), כי הזווית בין שתי הצלעות המתאימות.
  3. מסקנה: △ABC ≅ △DEF, ולכן צלעות מתאימות שוות: BC = EF.
  4. חופפים לפי צ.ז.צ, ומכאן BC = EF.
דוגמה 2∠B = ∠E , BC = EF , ∠C = ∠F
  1. מזהים את הנתונים: שתי זוויות ∠B = ∠E ו-∠C = ∠F, והצלע BC = EF ביניהן.
  2. בוחרים משפט: זווית-צלע-זווית (ז.צ.צ), כי הצלע כלואה בין שתי הזוויות המתאימות.
  3. מסקנה: △ABC ≅ △DEF, ולכן AB = DE וגם ∠A = ∠D.
  4. חופפים לפי ז.צ.צ, ומכאן כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
דוגמה 3AB = CD , AD = CB , BD משותפת
  1. נתון: AB = CD ו-AD = CB במרובע ABCD, והאלכסון BD מחבר את שני המשולשים.
  2. צלע משותפת: BD = DB (אותה צלע לשני המשולשים).
  3. שלוש צלעות מתאימות שוות: AB = CD, AD = CB, BD = BD.
  4. חופפים לפי צ.צ.צ: △ABD ≅ △CDB, ולכן ∠A = ∠C.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון והסולבר של נדב כץ.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1צ.ז.צ: שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן.
  • 2ז.צ.צ: שתי זוויות והצלע שביניהן.
  • 3צ.צ.צ: שלוש צלעות מתאימות שוות.
  • 4צלע-צלע-זווית: שתי צלעות והזווית מול הגדולה שבהן (בעיקר בישר-זווית).
  • 5מסקנה: ממשולשים חופפים נובע שכל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
מפתח פתרונות (תרגול)

    סמנו בסדנה אילו חלקים שווים, ואגיד לכם איזה משפט חפיפה חל כאן.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי