תרגול אי-שוויונות קוויים
כל מה שלמדנו על אי-שוויון קווי - בידוד הנעלם בדיוק כמו במשוואה, ערך הגבול שממנו מתחילה הקרן, כלל היפוך הסימן בכפל או חילוק במספר שלילי, עיגול מלא מול ריק, וכיוון הצביעה על הציר - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפתרון ישיר ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את השיטה: מבודדים את x כמו במשוואה, ואם חילקתם או הכפלתם במספר שלילי - הופכים את כיוון הסימן, ואז קוראים את ערך הגבול ואת כיוון הקרן.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. מבודדים את x כמו במשוואה, ואם חילקתם או הכפלתם במספר שלילי - הופכים את כיוון הסימן. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". מבודדים כמו במשוואה · חילוק בשלילי הופך את הסימן
גבול אחד, קרן שלמה. משוואה נותנת בדרך כלל מספר בודד, אבל אי-שוויון נותן קרן שלמה של פתרונות - אינסוף מספרים בבת אחת. פותרים אותו כמעט כמו משוואה: מעבירים אגפים ומבודדים את x. יש רק חוק אחד שחייבים לזכור: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את כיוון הסימן. אחרי הבידוד קוראים שני דברים מהסימן הסופי - את סוג העיגול (מלא ב-≤, ≥, ריק ב-<, >) ואת כיוון הצביעה. בדף הזה נזכיר במהירות את הכללים.
האנטומיה של אי-שוויון - תזכורת
לכל אי-שוויון שני אגפים, ובמרכז סימן אי-שוויון במקום סימן שוויון. הסימן קובע שני דברים - את כיוון הפתרון (ימינה או שמאלה על הציר) ואת סוג הנקודה שמסמנת את הגבול (עיגול מלא כשהגבול נכלל, ריק כשלא). ושימו לב במיוחד למקדם של x: אם הוא שלילי, החלוקה בו תהפוך את כיוון הסימן.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום האי-שוויונות הקוויים של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מארבעת הסימנים, דרך בידוד הנעלם וכלל היפוך הסימן, ועד סוג העיגול, כיוון הצביעה ובדיקה בהצבה.
ארבעת סימני האי-שוויון
< קטן, > גדול, ≤ קטן או שווה, ≥ גדול או שווה. הקו התחתי אומר שגם ערך הגבול עצמו הוא פתרון.
בידוד הנעלם
בדיוק כמו במשוואה: מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים כדי להשאיר את x לבד באגף אחד, למשל 2x < -6.
חוק היפוך הסימן
כשמכפילים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, כיוון הסימן מתהפך: מ-< ל->. למשל -2x < 8 הופך ל-x > -4.
עיגול מלא או ריק
ב-≤ או ≥ הגבול נכלל - מסמנים עיגול מלא. ב-< או > הגבול לא נכלל - עיגול ריק.
כיוון הצביעה
אחרי בידוד: x > a נצבע ימינה מהגבול, x < a נצבע שמאלה. הכיוון נקבע לפי הסימן הסופי, אחרי כל היפוך.
בדיקה בהצבה
בוחרים מספר מתוך הקרן ומציבים באי-שוויון המקורי - הוא צריך להתקיים. מספר מחוץ לקרן צריך לא להתקיים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב מתי הסימן נשמר ומתי הוא מתהפך. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מעבירים אגפים: הנעלמים לצד אחד והמספרים לשני: 3x - x < -11 + 5.
- מכנסים: 2x < -6. מחלקים ב-2 (חיובי - הסימן נשמר): x < -3.
- בדיקה: נציב x = -4: אגף שמאל 3·(-4) - 5 = -17, אגף ימין -4 - 11 = -15, ואכן -17 < -15.
- הפתרון הוא x < -3 (עיגול ריק ב--3, צביעה שמאלה).
- מעבירים את המספר: 2x ≥ 7 - 1, כלומר 2x ≥ 6.
- מחלקים ב-2 (חיובי - הסימן נשמר): x ≥ 3.
- בדיקה: נציב x = 3: 2·3 + 1 = 7, ו-7 ≥ 7 מתקיים (הגבול נכלל).
- הפתרון הוא x ≥ 3 (עיגול מלא ב-3, צביעה ימינה).
- מחלקים ב--2 - במספר שלילי! לכן כיוון הסימן מתהפך.
- מהפכים: x > 8-2, כלומר x > -4.
- בדיקה: נציב x = 0 (בתוך הקרן): -2·0 = 0, ו-0 < 8 מתקיים.
- הפתרון הוא x > -4 (עיגול ריק ב--4, צביעה ימינה).
תרגול מדורג - אי-שוויונות קוויים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פתרון ישיר וערך הגבול; בידוד, ההיפוך הראשון וכיוון הצביעה; היפוך סימן ותרגילים רב-שלביים; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. בכל תרגיל הנעלם מבודד עד ערך גבול שלם, כך שהתשובות יוצאות מספרים שלמים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור ללשונית "אי-שוויון" ולפתור a·x + b עם כלל היפוך הסימן. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מבודדים כמו במשוואה: מעבירים אגפים ומכנסים, למשל 3x - 5 < x - 11 ⟵ 2x < -6.
- 2חילוק במקדם חיובי: הסימן נשמר, 2x < -6 ⟵ x < -3.
- 3כפל/חילוק בשלילי: הסימן מתהפך, -2x < 8 ⟵ x > -4.
- 4סוג העיגול: מלא ב-≤, ≥, ריק ב-<, >.
- 5בדיקה: מציבים מספר מהקרן ומוודאים שהאי-שוויון המקורי מתקיים.
| האי-שוויון | הפתרון | היפוך סימן? |
|---|---|---|
| 2x + 1 < 9 | x < 4 | לא (חילוק בחיובי) |
| 3x - 6 >= 0 | x >= 2 | לא |
| -2x < 8 | x > -4 | כן (חילוק ב--2) |
| 3 - 2x >= 9 | x <= -3 | כן (חילוק ב--2) |
| 5 - x <= 2 | x >= 3 | כן (חילוק ב--1) |
