לפתור אי-שוויון
אי-שוויון קווי דומה למשוואה, אבל במקום סימן שוויון יש סימן של קטן/גדול - ולכן הפתרון אינו מספר בודד אלא קרן שלמה של מספרים. נלמד לבודד את הנעלם, להציג את הפתרון על ציר המספרים, ולזכור את החוק החשוב: כפל או חילוק במספר שלילי הופך את כיוון הסימן.
למה קרן ולא נקודה? משפט כמו "הכניסה מגיל 3 ומעלה" אינו אומר "בדיוק 3" - הוא כולל את 3 ואת כל מי שמבוגר יותר. זהו בדיוק x ≥ 3: אין-סוף פתרונות בבת אחת. אי-שוויון תופס מצבים שבהם "לפחות", "לכל היותר" או "מעל" - ומצייר אותם כקרן על ציר המספרים.
האנטומיה של אי-שוויון
לכל אי-שוויון שני אגפים, אבל במרכז יש סימן אי-שוויון במקום סימן שוויון. הסימן קובע שני דברים: את כיוון הפתרון (ימינה או שמאלה על הציר) ואת סוג הנקודה שמסמנת את הגבול - עיגול מלא כאשר הגבול נכלל, ריק כאשר לא.
מה מרכיב אי-שוויון
שישה מושגים מתחום האי-שוויונות הקוויים של כיתה ח, מהסימן ועד ההצגה על הציר.
ארבעת סימני האי-שוויון
< קטן, > גדול, ≤ קטן או שווה, ≥ גדול או שווה. הקו התחתי אומר שגם ערך הגבול עצמו הוא פתרון.
בידוד הנעלם
בדיוק כמו במשוואה: מעבירים אגפים ומכנסים איברים דומים כדי להשאיר את x לבד באגף אחד, למשל 2x < -6.
חוק היפוך הסימן
כשמכפילים או מחלקים את שני האגפים במספר שלילי, כיוון הסימן מתהפך: מ-< ל->. למשל -2x < 8 הופך ל-x > -4.
עיגול מלא או ריק
ב-≤ או ≥ הגבול נכלל - מסמנים עיגול מלא. ב-< או > הגבול לא נכלל - עיגול ריק.
כיוון הצביעה
אחרי בידוד: x > a נצבע ימינה מהגבול, x < a נצבע שמאלה. הכיוון נקבע לפי הסימן הסופי, אחרי כל היפוך.
בדיקה בהצבה
בוחרים מספר מתוך הקרן ומציבים באי-שוויון המקורי - הוא צריך להתקיים. מספר מחוץ לקרן צריך לא להתקיים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב מתי הסימן נשמר ומתי הוא מתהפך.
- מעבירים אגפים: הנעלמים לצד אחד והמספרים לשני: 3x - x < -11 + 5.
- מכנסים: 2x < -6. מחלקים ב-2 (חיובי - הסימן נשמר): x < -3.
- בדיקה: נציב x = -4: אגף שמאל 3·(-4) - 5 = -17, אגף ימין -4 - 11 = -15, ואכן -17 < -15.
- הפתרון הוא x < -3 (עיגול ריק ב--3, צביעה שמאלה).
- מעבירים את המספר: 2x ≥ 7 - 1, כלומר 2x ≥ 6.
- מחלקים ב-2 (חיובי - הסימן נשמר): x ≥ 3.
- בדיקה: נציב x = 3: 2·3 + 1 = 7, ו-7 ≥ 7 מתקיים (הגבול נכלל).
- הפתרון הוא x ≥ 3 (עיגול מלא ב-3, צביעה ימינה).
- מחלקים ב--2 - במספר שלילי! לכן כיוון הסימן מתהפך.
- מהפכים: x > 8-2, כלומר x > -4.
- בדיקה: נציב x = 0 (בתוך הקרן): -2·0 = 0, ו-0 < 8 מתקיים.
- הפתרון הוא x > -4 (עיגול ריק ב--4, צביעה ימינה).
תרגול אינטראקטיבי
כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולפתור a·x + b < c עם כלל היפוך הסימן.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מבודדים כמו במשוואה: מעבירים אגפים ומכנסים, למשל 3x - 5 < x - 11 ⟵ 2x < -6.
- 2חילוק במקדם חיובי: הסימן נשמר, 2x < -6 ⟵ x < -3.
- 3כפל/חילוק בשלילי: הסימן מתהפך, -2x < 8 ⟵ x > -4.
- 4סוג העיגול: מלא ב-≤, ≥, ריק ב-<, >.
- 5בדיקה: מציבים מספר מהקרן ומוודאים שהאי-שוויון המקורי מתקיים.
