נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
גרפים שימושיים

לקרוא גרף של תופעה

מכל מים מתרוקן, אופנוע שנוסע, מדחום שיורד - לכל תופעה יש גרף. בכיתה ח לומדים לקרוא גרף של תופעה ליניארית: מתי הוא עולה, מתי הוא יורד, ומתי הוא קבוע. השיפוע של הקטע הוא הקצב שבו הגודל משתנה בזמן.

קורא הגרפים הזיזו את סמן הזמן וראו אם הקטע עולה, יורד או קבוע
מפלס המים במכל (ליטר) לאורך הזמן זמן (דקות)
מכל מים מתרוקן
בזמן t = 0 · ערך: -
סמן הזמן (t)0
הזיזו את הסמן וקראו את כיוון הקטע

מה הגרף מספר? ציר אחד הוא הזמן, הציר השני הוא הגודל שמשתנה - מפלס המים במכל, המרחק מהבית, הטמפרטורה. קו עולה אומר שהגודל גָּדֵל, קו יורד אומר שהוא קָטֵן, וקו אופקי אומר שהוא לא משתנה כלל. תלילות הקו היא הקצב.

מבט מקרוב

האנטומיה של גרף תופעה

לכל גרף תופעה שני צירים: הציר האופקי הוא הזמן, והציר האנכי הוא הגודל הנמדד. הגרף מורכב מקטעים. כל קטע מספר סיפור: קטע עולה, קטע יורד או קטע קבוע (אופקי). ככל שהקטע תלול יותר - כך הקצב מהיר יותר.

החלקים של גרף מפלס-זמן
מפלס זמן קטע עולה קטע קבוע קטע יורד גָּדֵל ↗ קבוע → קָטֵן ↘
נכיר צעד אחר צעד

איך קוראים גרף

שישה מושגים מתחום הגרפים של תופעות ליניאריות בכיתה ח: מקריאת ערך בודד ועד תיאור מילולי של תופעה שלמה.

1

קריאת ערך מהגרף

בוחרים זמן על הציר האופקי, עולים עד לגרף, ופונים לציר האנכי לקרוא את הגודל. למשל בזמן t = 3 המפלס הוא 40 ליטר.

2

קטע עולה

הקו מטפס משמאל לימין: הגודל גָּדֵל עם הזמן. מכל שמתמלא, מרחק שגָּדֵל - כולם קטעים עולים. השיפוע חיובי.

3

קטע יורד

הקו יורד משמאל לימין: הגודל קָטֵן עם הזמן. מכל שמתרוקן בקצב קבוע נותן קו יָשָׁר ויורד. השיפוע שלילי.

4

קטע קבוע

הקו אופקי: הגודל לא משתנה. מכל שאין בו זרימה, רכב שעצר - הערך נשאר קבוע לאורך הזמן. השיפוע אפס.

5

קצב השינוי (תלילות)

הקצב הוא כמה הגודל משתנה בכל יחידת זמן: קצב = שינוי בגודלשינוי בזמן. קו תלול יותר = קצב מהיר יותר.

6

תיאור מילולי של תופעה

מחברים את הקטעים לסיפור: "המכל התרוקן, ואז נשאר ריק, ואז מולא שוב". וגם ההפך - בונים גרף מתוך תיאור מילולי של תופעה.

↗ →
כיוון הקטע
קו עולה = גָּדֵל · קו יורד = קָטֵן · קו אופקי = קבוע
תלול מתון
תלילות = קצב
ככל שהקו תלול יותר - כך הקצב מהיר יותר
נקרא יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מזהים את הצירים, מסתכלים על כיוון הקטע, ומחשבים את הקצב מהשינוי בגודל חלקי השינוי בזמן.

דוגמה 1מכל: 60 ליטר → 0 ליטר תוך 4 דקות
  1. מזהים את הכיוון: המפלס יורד מ-60 ל-0 - הגרף יורד, כלומר המכל מתרוקן.
  2. מחשבים את השינוי בגודל: 0 - 60 = -60 ליטר, לאורך 4 דקות.
  3. קצב הריקון: -604 = -15 ליטר לדקה - קצב קבוע, ולכן קו ישר.
  4. המכל מתרוקן בקצב של 15 ליטר לדקה.
דוגמה 2נסיעה: 0 ק"מ בזמן 0 → 90 ק"מ בזמן 1.5 שעות
  1. מזהים את הכיוון: המרחק גָּדֵל מ-0 ל-90 - הגרף עולה.
  2. שינוי במרחק חלקי שינוי בזמן: 901.5.
  3. המהירות (הקצב): 901.5 = 60 קמ"ש.
  4. הרכב נסע במהירות קבועה של 60 קמ"ש.
דוגמה 3טיול: עלייה, ואז מנוחה, ואז עלייה נוספת
  1. קטע ראשון עולה: ההליכה מרחיקה מהבית - המרחק גָּדֵל, הגרף עולה.
  2. קטע אמצעי אופקי: ההפסקה - המרחק לא משתנה, ולכן הקו קבוע (שיפוע 0).
  3. קטע שלישי עולה: ממשיכים ללכת - המרחק שוב גָּדֵל, הגרף עולה מחדש.
  4. שלושה קטעים: עולה, קבוע, עולה - הסיפור השלם של הטיול.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1צירים: אופקי = זמן, אנכי = הגודל הנמדד (מפלס, מרחק, טמפרטורה).
  • 2קו עולה: הגודל גָּדֵל עם הזמן (שיפוע חיובי).
  • 3קו יורד: הגודל קָטֵן - למשל מכל שמתרוקן (שיפוע שלילי).
  • 4קו אופקי: הגודל קבוע, לא משתנה (שיפוע 0).
  • 5קצב: שינוי בגודל חלקי שינוי בזמן - קו תלול יותר, קצב מהיר יותר.
מפתח פתרונות (תרגול)

    הזיזו את סמן הזמן על הגרף, וקראו מה קורה בכל קטע לפי שיפועו.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי