נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
משוואות אחוזים

מהמחיר החדש חזרה למקורי

בכיתה ח אנחנו הופכים אחוזים למשוואה: התייקרות של 15% היא כפל ב-1.15, והנחה של 20% היא כפל ב-0.8. אם יודעים את המחיר הסופי - פותרים משוואה וחוזרים אל המחיר המקורי בחילוק.

סרגל המחיר הזיזו את האחוז וראו כיצד המחיר גדל או קטן, ומהו המקורי
מחיר מקורי מחיר סופי
200 ₪
מחיר סופי (נתון)
230 ₪
מחיר מקורי (נעלם)
200 ₪
1.15x = 230 → x = 230 : 1.15 = 200
אחוז השינוי15%
מחיר סופי (₪)230

מה קרה למחיר? בחנות רואים "אחרי הנחה של 20%: 160 ₪". מהו המחיר המקורי? מילים כמו "אחרי הנחה" או "לאחר התייקרות" מספרות לנו שהמחיר הסופי הוא המקורי כפול מקדם - וכדי לחזור אחורה פותרים משוואה אחת פשוטה.

מבט מקרוב

האנטומיה של משוואת אחוזים

בכל בעיה כזו יש מחיר מקורי לא ידוע (הנעלם x), מקדם שינוי שמכפיל אותו, ומחיר סופי ידוע. מזהים אם מדובר בהתייקרות (מקדם גדול מ-1) או בהנחה (מקדם קטן מ-1), בונים משוואה, ומחלצים את x.

החלקים של המשוואה
1.15 x = 230 מקדם השינוי מחיר מקורי מחיר סופי מקורי × מקדם מה שנתון
נכיר צעד אחר צעד

איך אחוז הופך למקדם

שישה מושגים של כיתה ח: מהמרת אחוז למקדם ועד בעיה מילולית שלמה ובדיקת הפתרון.

1

אחוז כמקדם

אחוז הוא שבר ממאה: 15% = 0.15. כדי להשתמש בו במשוואה הופכים אותו למספר עשרוני ומוסיפים או מחסירים מ-1.

2

מקדם התייקרות

התייקרות של 15% מוסיפה למחיר את החלק שלו: 1 + 0.15 = 1.15. המחיר החדש הוא x · 1.15.

3

מקדם הנחה

הנחה של 20% משאירה רק חלק מהמחיר: 1 − 0.2 = 0.8. המחיר לאחר ההנחה הוא x · 0.8.

4

בניית המשוואה

כותבים מקורי × מקדם = סופי. למשל התייקרות ל-230: 1.15x = 230.

5

חילוץ המקורי

מחלקים את שני האגפים במקדם: x = 230 : 1.15 = 200. החילוק הוא הפעולה ההופכית לכפל.

6

בעיה מילולית ובדיקה

מגדירים את המחיר המקורי כ-x, בונים משוואה מתנאי הבעיה, פותרים, ובודקים: 200 · 1.15 = 230. חוזר למחיר הסופי - נכון.

מקורי ×1.15 התייקרות
מקדם מעל 1
התייקרות: המקדם גדול מ-1, והמחיר עולה
מקורי ×0.8 הנחה
מקדם מתחת ל-1
הנחה: המקדם קטן מ-1, והמחיר יורד
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: אחוז → מקדם → משוואה → חילוק → בדיקה.

דוגמה 11.15x = 230
  1. מזהים התייקרות: עלייה של 15% נותנת מקדם 1 + 0.15 = 1.15.
  2. בונים משוואה: המחיר המקורי x כפול 1.15 שווה למחיר הסופי: 1.15x = 230.
  3. מחלצים: מחלקים ב-1.15: x = 230 : 1.15 = 200.
  4. בדיקה: 200 · 1.15 = 230. חוזרים למחיר הסופי.
  5. המחיר המקורי הוא 200 ₪.
דוגמה 20.8x = 160
  1. מזהים הנחה: הנחה של 20% נותנת מקדם 1 − 0.2 = 0.8.
  2. בונים משוואה: המחיר המקורי כפול 0.8 שווה למה ששולם: 0.8x = 160.
  3. מחלצים: מחלקים ב-0.8: x = 160 : 0.8 = 200.
  4. בדיקה: 200 · 0.8 = 160. מתאים לסכום ששולם.
  5. המחיר המקורי הוא 200 ₪.
דוגמה 31.25x = 50
  1. מזהים גידול: גידול של 25% נותן מקדם 1 + 0.25 = 1.25.
  2. בונים משוואה: המספר המקורי כפול 1.25 שווה ל-50: 1.25x = 50.
  3. מחלצים: מחלקים ב-1.25: x = 50 : 1.25 = 40.
  4. בדיקה: 40 · 1.25 = 50. השוויון מתקיים.
  5. המספר המקורי הוא 40.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "המקור מהסופי".

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1אחוז למקדם: 15% = 0.15, ומשם בונים את המקדם.
  • 2התייקרות: מקדם 1 + p, למשל עלייה של 15% נותנת 1.15.
  • 3הנחה: מקדם 1 − p, למשל הנחה של 20% נותנת 0.8.
  • 4מהסופי למקורי: מחלקים במקדם - x = סופי : מקדם.
  • 5בדיקה: מכפילים חזרה במקדם ומוודאים שמקבלים את המחיר הסופי.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי, אני סיגמא! גללו במורד הדף ואלווה אתכם עם טיפ בכל שלב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי