תרגול שווה-שוקיים וכתיבת הוכחה
כל מה שלמדנו על ההוכחה ועל המשולש שווה-שוקיים - מבנה ההוכחה (נתון, צריך להוכיח, ואז רצף של טענה-נימוק עד למסקנה), התכונה שזוויות הבסיס שוות (AB = AC ⇐⇒ ∠B = ∠C), משפטי החפיפה, ההוכחה המלאה שמעבירה תיכון ומקבלת חפיפה לפי צ.צ.צ, והתיכון לבסיס שהוא גם גובה וגם חוצה-זווית - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב זווית בודד ועד ניתוח, איתור טעות ורמת מבחן. זכרו: אם זווית הראש היא α, כל זווית בסיס היא (180° - α) : 2.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה במשולש שווה-שוקיים ובכתיבת הוכחה. זווית בסיס מזווית הראש: (180 - ראש) : 2; זווית הראש מזווית הבסיס: 180 - 2·בסיס; זוויות הבסיס שוות; שלוש צלעות מתאימות ← צ.צ.צ; והתיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה-זווית. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". שווה-שוקיים · זוויות בסיס שוות · תיכון = גובה = חוצה-זווית
שתי שוקיים שוות - ומה עם הזוויות? קחו משולש שבו שתי השוקיים שוות באורכן, AB = AC, וקפלו אותו לאורך הקו מהקודקוד הראשי אל אמצע הבסיס. שני החצאים מתלכדים בדיוק - ולכן זוויות הבסיס שוות: ∠B = ∠C. זו בדיוק התכונה שנוכיח: מעבירים תיכון, מקבלים שני משולשים חופפים לפי צ.צ.צ, ומהחפיפה נובע שהזוויות המתאימות שוות. בדף הזה נזכיר במהירות את הכללים - זוויות, חפיפה, תיכון.
האנטומיה של הוכחה - תזכורת
לכל הוכחה אותו שלד: הנתון - מה כבר ידוע לנו (למשל AB = AC), הצריך להוכיח - המטרה (למשל ∠B = ∠C), ובאמצע רצף של טענה-נימוק - כל שורה מלוּוה בנימוק שנשען על נתון או על משפט מוכר. בהוכחת שווה-שוקיים מעבירים תיכון AD אל אמצע הבסיס, מראים ש-BD = DC, מסיקים חפיפה △ABD ≅ △ACD לפי צ.צ.צ, ומזוויות מתאימות במשולשים חופפים מגיעים ל-∠B = ∠C.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה רעיונות של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממבנה ההוכחה והנימוקים, דרך משפטי החפיפה ותכונת זוויות הבסיס, ועד ההוכחה המלאה והתיכון שהוא גם גובה וגם חוצה-זווית.
נתון וצריך להוכיח
כל הוכחה נפתחת בשני חלקים: הנתון - מה שכבר ידוע (למשל AB = AC), והצריך להוכיח - המטרה (למשל ∠B = ∠C).
טענה-נימוק
גוף ההוכחה בנוי מזוגות: בכל שורה טענה ולידה נימוק - הנתון או המשפט שממנו הטענה נובעת. אין טענה בלי נימוק.
זוויות הבסיס שוות
במשולש שווה-שוקיים שתי השוקיים שוות (AB = AC), ולכן זוויות הבסיס שוות: ∠B = ∠C. התכונה דו-כיוונית: AB = AC ⇐⇒ ∠B = ∠C.
משפטי חפיפה
שני משולשים חופפים אם מתקיים אחד המשפטים: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ או צ.צ.ז. במשולשים חופפים כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.
ההוכחה בקצרה
מעבירים תיכון AD אל אמצע הבסיס, ואז AB = AC (נתון), BD = DC (אמצע), AD = AD (משותפת) נותנים חפיפה לפי צ.צ.צ, וממנה ∠B = ∠C.
התיכון לבסיס
במשולש שווה-שוקיים, התיכון מהקודקוד הראשי אל הבסיס הוא גם גובה וגם חוצה-זווית. קו אחד שממלא שלושה תפקידים: כגובה הוא ניצב לבסיס (90°), וכחוצה-זווית הוא חוצה את זווית הראש.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: חישוב זווית בסיס מזווית הראש, חישוב זווית הראש מזווית הבסיס, וההוכחה המלאה ששתי זוויות הבסיס שוות. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- סכום זוויות במשולש: שלוש הזוויות במשולש מסתכמות תמיד ל-180°.
- מנצלים שוויון: שתי זוויות הבסיס שוות, לכן הן חולקות את מה שנשאר: 180° - 40° = 140°.
- מחלקים לשתיים: כל זווית בסיס היא 140° : 2 = 70°.
- כל זווית בסיס היא 70°.
- שתי זוויות הבסיס שוות: אם אחת היא 55°, גם השנייה 55°, וביחד 55° + 55° = 110°.
- מפחיתים מ-180°: זווית הראש היא מה שנשאר: 180° - 110° = 70°.
- זווית הראש היא 70°.
- נעביר עזר: נעביר את התיכון AD מהקודקוד הראשי A אל אמצע הבסיס D (נימוק: לכל קטע יש אמצע, אפשר לחבר).
- טענה-נימוק: AB = AC (נתון); BD = DC (AD תיכון, D אמצע הבסיס); AD = AD (צלע משותפת).
- חפיפה: לכן המשולשים ABD ו-ACD חופפים לפי צ.צ.צ.
- מסקנה: במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות, ולכן ∠B = ∠C.
- מ.ש.ל.: זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות.
תרגול מדורג - שווה-שוקיים וכתיבת הוכחה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות הזוויות ומבנה ההוכחה; חישוב זוויות ונימוקים; חצייה, חפיפה וההוכחה המלאה; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל התרגילים משתמשים במספרים נקיים, כך שכל תשובה מספרית יוצאת שלמה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "שווה-שוקיים": מזינים זווית אחת ומקבלים את שלוש הזוויות. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1מבנה הוכחה: נתון, צריך להוכיח, ואז רצף של טענה-נימוק עד למסקנה - אין טענה בלי נימוק.
- 2שווה-שוקיים: AB = AC ⇐⇒ ∠B = ∠C - שוקיים שוות, זוויות בסיס שוות (ובכיוון ההפוך).
- 3זווית בסיס: אם זווית הראש היא α, כל זווית בסיס היא (180° - α) : 2.
- 4משפטי חפיפה: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ, צ.צ.ז; בהוכחת שווה-שוקיים החפיפה היא לפי צ.צ.צ.
- 5התיכון לבסיס: גם גובה (ניצב לבסיס, 90°) וגם חוצה-זווית - קו אחד, שלושה תפקידים.
| זווית ראש | 180° - ראש | חלוקה לשתיים | כל זווית בסיס |
|---|---|---|---|
| 40° | 140° | 140 : 2 | 70° |
| 80° | 100° | 100 : 2 | 50° |
| 90° | 90° | 90 : 2 | 45° |
| 100° | 80° | 80 : 2 | 40° |
| 20° | 160° | 160 : 2 | 80° |
