נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
חשיבה היסקית בגיאומטריה

לכתוב הוכחה

כיתה ח עושה את הקפיצה הגדולה: לא רק למדוד ולחשב, אלא להסביר למה משהו בהכרח נכון. נכתוב הוכחה מסודרת - נתון, צריך להוכיח, ורצף של טענה-נימוק - ונשתמש בה כדי להוכיח את התכונה היפה של משולש שווה-שוקיים: זוויות הבסיס שוות.

בונה ההוכחות גררו את שלבי ההוכחה לסדר הנכון עד שהרצף מוביל למסקנה
נתון: AB = AC צריך להוכיח: ∠B = ∠C
    מ.ש.ל. - ∠B = ∠C
    בונה ההוכחה
    גררו כרטיס אל השלב הפנוי הבא
    גררו את חמשת הכרטיסים לסדר הנכון של ההוכחה

    למה לא מספיק "רואים בעין"? ציור יכול להטעות - קו שנראה ישר אולי לא באמת ישר, וזוויות שנראות שוות אולי שונות במעט. הוכחה היא שרשרת של נימוקים שכל חוליה בה נשענת על נתון או על משפט שכבר הוכח, ולכן המסקנה בהכרח נכונה - לא רק "נראית" נכונה.

    מבט מקרוב

    האנטומיה של הוכחה

    לכל הוכחה יש שלד קבוע: מה נתון לנו, מה אנחנו צריכים להוכיח, ובאמצע - רצף של טענות שכל אחת מלוּוה בנימוק (הנתון שממנו היא נובעת). כשמזהים את החלקים, ההוכחה מפסיקה להיות מסתורית והופכת למסלול ברור.

    החלקים של הוכחה גיאומטרית
    נתון: AB = AC צריך להוכיח: ∠B = ∠C טענה BD = DC △ABD ≅ △ACD ∠B = ∠C נימוק AD תיכון, D אמצע הבסיס חפיפה לפי צ.צ.צ זוויות מתאימות במשולשים חופפים
    נכיר צעד אחר צעד

    כלי העבודה של המוכיח

    שישה מושגים מתחום ההוכחה של כיתה ח, מהמבנה הבסיסי של הוכחה ועד תכונות משולש שווה-שוקיים.

    1

    נתון וצריך להוכיח

    כל הוכחה נפתחת בשני חלקים: הנתון - מה אנחנו כבר יודעים (למשל AB = AC), והצריך להוכיח - המטרה (למשל ∠B = ∠C).

    2

    טענה-נימוק

    גוף ההוכחה בנוי מזוגות: בכל שורה כותבים טענה ולידה נימוק - הנתון או המשפט שממנו הטענה נובעת. אין טענה בלי נימוק.

    3

    תרשים זרימה

    אפשר לצייר הוכחה כתרשים זרימה: תיבות של טענות מחוברות בחצים, וכל חץ אומר "מכאן נובע ש...". רואים בבירור איך הנתונים זורמים אל המסקנה.

    4

    משפטי חפיפה

    שני משולשים חופפים אם מתקיים אחד המשפטים: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ או צ.צ.ז. במשולשים חופפים כל הצלעות והזוויות המתאימות שוות.

    5

    משולש שווה-שוקיים

    במשולש שבו שתי שוקיים שוות (AB = AC), זוויות הבסיס שוות: ∠B = ∠C. זו התכונה שנוכיח בעזרת חפיפה.

    6

    התיכון לבסיס

    במשולש שווה-שוקיים, התיכון מהקודקוד הראשי אל הבסיס הוא גם גובה וגם חוצה-זווית. קו אחד שממלא שלושה תפקידים - כלי חזק בהוכחות.

    טענה נימוק
    כל טענה ונימוק
    כל טענה חייבת נימוק שנשען על נתון או משפט
    ∠B ∠C
    שווה-שוקיים
    במשולש שווה-שוקיים: שוקיים שוות ← זוויות בסיס שוות
    נוכיח יחד

    הוכחות ותרגילים פתורים

    שלוש דוגמאות: מהחישוב הישיר של זווית בסיס ועד ההוכחה המלאה ששתי זוויות הבסיס שוות.

    דוגמה 1זווית ראש = 40° → זווית בסיס = ?
    1. סכום זוויות במשולש: שלוש הזוויות במשולש מסתכמות תמיד ל-180°.
    2. מנצלים שוויון: במשולש שווה-שוקיים שתי זוויות הבסיס שוות, לכן הן חולקות את מה שנשאר: 180° − 40° = 140°.
    3. מחלקים לשתיים: כל זווית בסיס היא 140° : 2 = 70°.
    4. כל זווית בסיס היא 70°.
    דוגמה 2זווית בסיס = 55° → זווית ראש = ?
    1. שתי זוויות הבסיס שוות: אם אחת היא 55°, גם השנייה 55°, וביחד 55° + 55° = 110°.
    2. מפחיתים מ-180°: זווית הראש היא מה שנשאר: 180° − 110° = 70°.
    3. זווית הראש היא 70°.
    דוגמה 3נתון AB = AC → להוכיח ∠B = ∠C
    1. נעביר עזר: נעביר את התיכון AD מהקודקוד הראשי A אל אמצע הבסיס D (נימוק: לכל קטע יש אמצע, אפשר לחבר).
    2. טענה-נימוק: AB = AC (נתון); BD = DC (AD תיכון, D אמצע הבסיס); AD = AD (צלע משותפת).
    3. חפיפה: לכן המשולשים ABD ו-ACD חופפים לפי צ.צ.צ.
    4. מסקנה: במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות, ולכן ∠B = ∠C.
    5. מ.ש.ל.: זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות.
    תרגלו ובדקו את עצמכם

    תרגול אינטראקטיבי

    ניקוד: 0 / 0

    כל התרגילים כאן בנויים על נושאים אלה: זוויות במשולש שווה-שוקיים, בחירת משפט החפיפה, ונימוקים בהוכחה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ - כולל טאב שמחשב את זוויות המשולש שווה-שוקיים.

    לוח המשחק

    דרכים לתרגל את הדף הזה

    המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

    0%
    שליטה
    0חדש
    0בלימוד
    0בחזרה
    0שולט

    הנקודות שכדאי לזכור

    • 1מבנה הוכחה: נתון, צריך להוכיח, ואז רצף של טענה-נימוק עד למסקנה.
    • 2אין טענה בלי נימוק: כל שורה נשענת על נתון או על משפט מוכר.
    • 3משפטי חפיפה: צ.ז.צ, ז.צ.ז, צ.צ.צ, צ.צ.ז - מוכיחים ששני משולשים זהים.
    • 4שווה-שוקיים: AB = AC ⇐⇒ ∠B = ∠C - שוקיים שוות, זוויות בסיס שוות.
    • 5זווית בסיס: אם זווית הראש היא α, כל זווית בסיס היא (180° − α) : 2.
    מפתח פתרונות (תרגול)

      היי! אני אלווה אתכם בכתיבת ההוכחה הראשונה שלכם. גללו למטה וקחו טיפ בכל שלב.

      תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי