תרגול יחס, פרופורציה וקנה מידה
כל מה שלמדנו על יחס ופרופורציה - יחס a:b וצמצומו, יחסים שקולים, פרופורציה a:b = c:d והכלי המרכזי שלה, המכפלה המוצלבת (a·d = b·c), פתרון פרופורציה לנעלם, קריאת מפה לפי קנה מידה והתאמת כמויות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מצמצום יחס בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את השיטה: פרופורציה → מכפלה מוצלבת → פתרון → בדיקה.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה. מזהים יחס או פרופורציה, מפעילים מכפלה מוצלבת או קנה מידה - ותמיד בודקים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". יחס → פרופורציה → מכפלה מוצלבת → פתרון → בדיקה
מה המספר החסר? מפה בקנה מידה 1:50,000, מתכון שצריך להגדיל מ-4 ל-6 סועדים, יחס של 3:4 בין בנים לבנות שממנו נגלה כמה בנות בכיתה - בכולם מסתתר אותו רעיון: שני יחסים שווים. מרגע שכותבים a:b = c:d, המכפלה המוצלבת a·d = b·c חושפת את הנעלם. בדף הזה נזכיר במהירות את היחס, את המכפלה המוצלבת ואת קנה המידה.
האנטומיה של פרופורציה - תזכורת
לכל פרופורציה a:b = c:d ארבעה איברים - שני האיברים הקיצוניים (החיצוניים, a ו-d) ושני האיברים האמצעיים (b ו-c). חוק הפרופורציה קובע שמכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים: a·d = b·c. מהמשוואה הזו מחלצים כל נעלם. בכל שאלה: מזהים את האיברים, כותבים מכפלה מוצלבת, ומחלצים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום היחס והפרופורציה של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהיחס הבסיסי, דרך המכפלה המוצלבת ופתרון לנעלם, ועד קנה מידה והתאמת מתכון.
יחס בין שתי כמויות
יחס משווה כמה גדולה כמות אחת ביחס לשנייה. את היחס בין 12 ל-8 כותבים 12:8, ומצמצמים כמו שבר ל-3:2.
פרופורציה = שני יחסים שווים
פרופורציה קובעת ששני יחסים שווים: a:b = c:d. אפשר לכתוב אותה גם כשוויון שברים: ab = cd.
המכפלה המוצלבת
חוק הפרופורציה: מכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים, כלומר a·d = b·c. זהו הכלי לפתרון פרופורציה לנעלם.
פתרון פרופורציה לנעלם
מציבים במכפלה המוצלבת ומקבלים משוואה. ב-x:6 = 4:3 מקבלים 3x = 24, ולכן x = 8.
קנה מידה
קנה מידה הוא היחס בין מרחק במפה למרחק האמיתי. ב-1:50,000 כל ס"מ אחד במפה שווה 50,000 ס"מ בשטח - כלומר חצי ק"מ.
התאמת כמויות (מתכון)
מתכון ל-4 סועדים שרוצים ל-6 מוכפל בגורם 64 = 1.5. כל מרכיב מוכפל פי 1.5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: כותבים פרופורציה, מפעילים מכפלה מוצלבת, מחלצים את הנעלם ובודקים. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מכפלה מוצלבת: מכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים: x·3 = 6·4.
- כותבים משוואה: 3x = 24.
- מחלצים: מחלקים ב-3 ומקבלים x = 8.
- בדיקה: 8 : 6 = 4 : 3 (שניהם מצטמצמים ל-4:3). נכון.
- הפתרון הוא x = 8.
- מפעילים את קנה המידה: כל ס"מ במפה שווה 50,000 ס"מ בשטח, לכן 4 · 50,000 = 200,000 ס"מ.
- ממירים יחידות: 200,000 ס"מ הם 2,000 מ׳, כלומר 2 ק"מ.
- בדיקה: 2 ק"מ = 200,000 ס"מ, וחלוקה ב-50,000 נותנת 4 ס"מ. נכון.
- המרחק האמיתי הוא 2 ק"מ.
- גורם ההגדלה: מ-4 ל-6 מכפילים ב-64 = 1.5.
- מפעילים על מרכיב: כמות הקמח 200 גרם מוכפלת: 200 · 1.5 = 300.
- בדיקה (פרופורציה): 4 : 200 = 6 : 300, כי 4·300 = 200·6 = 1200. נכון.
- ל-6 סועדים דרושים 300 גרם קמח.
תרגול מדורג - יחס, פרופורציה וקנה מידה
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות היחס והפרופורציה - צמצום, יחסים שקולים ומכפלה מוצלבת; קנה מידה והתאמת כמויות; פרופורציות יישומיות וקנה מידה; ועד ניתוח, השוואה ואיתור טעות ברמת מבחן. כל התרגילים נותנים תשובות במספרים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור ללשונית "פותר פרופורציה". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1יחס: מצמצמים כמו שבר, למשל 12:8 = 3:2.
- 2פרופורציה: שני יחסים שווים, a:b = c:d.
- 3מכפלה מוצלבת: a·d = b·c - הקיצוניים כנגד האמצעיים, ומכאן מחלצים כל נעלם.
- 4קנה מידה: מרחק במפה × קנה המידה = מרחק בשטח (שימו לב ליחידות).
- 5התאמת כמויות: מכפילים כל מרכיב בגורם ההגדלה, למשל מ-4 ל-6 סועדים פי 1.5.
| המשימה | הכלל | דוגמה |
|---|---|---|
| צמצום יחס | חלקו את שני האיברים בגורם משותף | 12:8 = 3:2 |
| יחסים שקולים | מרחיבים או מצמצמים באותו גורם | 2:3 = 4:6 |
| פתרון פרופורציה | מכפלה מוצלבת a·d = b·c | 2:3 = 8:x → x = 12 |
| קנה מידה | מרחק במפה × קנה המידה | 4 ס"מ · 50,000 = 2 ק"מ |
| התאמת כמויות | הכפלה בגורם ההגדלה | 4 → 6 סועדים: ×1.5 |
