הכוח של הפרופורציה
יחס משווה שתי כמויות, ופרופורציה קובעת ששני יחסים שווים: a:b = c:d. הכלי המרכזי הוא המכפלה המוצלבת - a·d = b·c - ואיתה נפתור לכל נעלם, נקרא מפות לפי קנה מידה ונתאים מתכונים.
למה פרופורציה? מפה בקנה מידה 1:50,000, מתכון שצריך להגדיל מ-4 סועדים ל-6, מרשם שמדלל תרכיז במים - בכולם מסתתר אותו רעיון: שני יחסים שווים. מרגע שכותבים a:b = c:d, המכפלה המוצלבת חושפת את המספר החסר.
האנטומיה של פרופורציה
פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. לכל פרופורציה ארבעה איברים: שני האיברים הקיצוניים (החיצוניים) ושני האיברים האמצעיים. חוק הפרופורציה קובע שמכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים.
מה מרכיב פרופורציה
שישה מושגים של כיתה ח: מהיחס הבסיסי, דרך המכפלה המוצלבת, ועד קריאת מפה לפי קנה מידה והתאמת מתכון.
יחס בין שתי כמויות
יחס משווה כמה גדולה כמות אחת ביחס לשנייה. את היחס בין 12 ל-8 כותבים 12:8, ומצמצמים כמו שבר ל-3:2.
פרופורציה = שני יחסים שווים
פרופורציה קובעת ששני יחסים שווים: a:b = c:d. אפשר לכתוב אותה גם כשוויון שברים: ab = cd.
המכפלה המוצלבת
חוק הפרופורציה: מכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים, כלומר a·d = b·c. זהו הכלי לפתרון פרופורציה לנעלם.
פתרון פרופורציה לנעלם
מציבים במכפלה המוצלבת ומקבלים משוואה. ב-x:6 = 4:3 מקבלים 3x = 24, ולכן x = 8.
קנה מידה
קנה מידה הוא היחס בין מרחק במפה למרחק האמיתי. ב-1:50,000 כל ס"מ אחד במפה שווה 50,000 ס"מ בשטח - כלומר חצי ק"מ.
התאמת כמויות (מתכון)
מתכון ל-4 סועדים שרוצים ל-6 מוכפל בגורם 64 = 1.5. כל מרכיב מוכפל פי 1.5.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: כותבים פרופורציה, מפעילים מכפלה מוצלבת, ומחלצים את הנעלם.
- מכפלה מוצלבת: מכפלת הקיצוניים שווה למכפלת האמצעיים: x·3 = 6·4.
- כותבים משוואה: 3x = 24.
- מחלצים: מחלקים ב-3 ומקבלים x = 8.
- בדיקה: 8 : 6 = 4 : 3 (שניהם מצטמצמים ל-4:3). נכון.
- הפתרון הוא x = 8.
- מפעילים את קנה המידה: כל ס"מ במפה שווה 50,000 ס"מ בשטח, לכן 4 · 50,000 = 200,000 ס"מ.
- ממירים יחידות: 200,000 ס"מ הם 2,000 מ׳, כלומר 2 ק"מ.
- בדיקה: 2 ק"מ = 200,000 ס"מ, וחלוקה ב-50,000 נותנת 4 ס"מ. נכון.
- המרחק האמיתי הוא 2 ק"מ.
- גורם ההגדלה: מ-4 ל-6 מכפילים ב-64 = 1.5.
- מפעילים על מרכיב: כמות הקמח 200 גרם מוכפלת: 200 · 1.5 = 300.
- בדיקה (פרופורציה): 4 : 200 = 6 : 300, כי 4·300 = 200·6 = 1200. נכון.
- ל-6 סועדים דרושים 300 גרם קמח.
תרגול אינטראקטיבי
כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר), ומבוססים על סוגי השאלות האלה: פרופורציה לנעלם, מכפלה מוצלבת, קנה מידה והתאמת כמויות. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון ואת פותר הפרופורציה של נדב כץ.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1יחס: מצמצמים כמו שבר, למשל 12:8 = 3:2.
- 2פרופורציה: שני יחסים שווים, a:b = c:d.
- 3מכפלה מוצלבת: a·d = b·c - הקיצוניים כנגד האמצעיים.
- 4נעלם: מהמכפלה המוצלבת בונים משוואה ומחלצים, כמו 3x = 24 → x = 8.
- 5קנה מידה: מרחק במפה × קנה המידה = מרחק בשטח (שימו לב ליחידות).
