תרגול דמיון משולשים
כל מה שלמדנו על דמיון - אותה צורה בגודל שונה, זוויות מתאימות שוות וצלעות מתאימות פרופורציונליות, יחס הדמיון k, חילוץ צלע חסרה בפרופורציה, משפט זווית-זווית, ויחס השטחים k² - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הכלל: הצלעות גדֵלות פי k, ההיקף גם הוא פי k, אבל השטח גדֵל פי k² - הרבה יותר מהר.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה בדמיון מצולעים. הצלע המתאימה = צלע · k; יחס השטחים = k²; ומ-k² מוציאים שורש כדי למצוא את k. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". צלע מתאימה = צלע · k · יחס שטחים = k²
פי כמה גדל השטח? אותם שני משולשים דומים, שתי שאלות שונות. "מה אורך הצלע המתאימה?" - מכפילים ביחס הדמיון: צלע · k. "פי כמה גדול השטח?" - כאן לא פי k אלא פי k²: כשהצלעות גדֵלות פי 2, השטח גדֵל פי 4. אותו k קבוע חוזר בכל זוג צלעות מתאימות, וממנו נגזרים ההיקף (פי k) והשטח (פי k²). בדף הזה נזכיר במהירות את הכללים.
האנטומיה של דמיון - תזכורת
במשולשים דומים מסמנים את הקודקודים המתאימים לפי הסדר - △ABC ∼ △DEF. הזוויות המתאימות שוות (A מול D, B מול E, C מול F), והצלעות שמול אותן זוויות נמצאות ביחס קבוע - הוא יחס הדמיון k. בכל שאלה: קודם מזהים מי הצלעות המתאימות, ואז כותבים פרופורציה ומחלצים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום דמיון המצולעים של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: ממשמעות הדמיון, דרך יחס הדמיון ומשפט זווית-זווית, ועד יחס ההיקפים והשטחים.
מהו דמיון
שני מצולעים דומים כשיש להם אותה צורה בגודל שונה: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות פרופורציונליות. מסמנים △ABC ∼ △DEF.
יחס הדמיון k
k הוא היחס הקבוע בין צלע במשולש אחד לצלע המתאימה בשני, למשל k = DEAB. אותו k חוזר בכל זוג צלעות מתאימות.
חישוב צלע חסרה
כותבים פרופורציה בין שני זוגות צלעות מתאימות ומחלצים: אם k = 3 וצלע היא 4, הצלע המתאימה היא 4 · 3 = 12.
משפט זווית-זווית (AA)
אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני - המשולשים דומים. הזווית השלישית ממילא שווה, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
יחס היקפים = k
ההיקף הוא סכום הצלעות, וכל צלע גדֵלה פי k, ולכן גם ההיקף גדֵל פי k בדיוק - כמו הצלעות.
יחס שטחים = k²
השטח גדֵל פי k² - הרבה יותר מהר מהצלעות. ביחס דמיון 2 יחס השטחים הוא 2² = 4. הפוך: k = יחס השטחים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: מצלע מתאימה, דרך יחס השטחים, ועד חישוב גובה בשיטת הצללים. שימו לב מתי מכפילים ב-k ומתי ב-k². אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את יחס הדמיון: היחס הוא 1 : 3, כלומר k = 3.
- כותבים פרופורציה: הצלע המתאימה שווה לצלע כפול k: DE = AB · k = 4 · 3.
- מחשבים: DE = 12.
- הצלע המתאימה היא 12.
- יחס השטחים: השטח גדֵל פי k², ולכן k² = 2² = 4.
- מפעילים על השטח: אם שטח המשולש הקטן הוא 6, אז S₂ = 6 · 4.
- מחשבים: S₂ = 24.
- יחס השטחים הוא 4, והשטח הגדול הוא 24.
- שני משולשים דומים (AA): קרן השמש יוצרת אותה זווית, ושתי הצורות זקופות - לפי זווית-זווית המשולשים דומים.
- יחס הדמיון: k = 152 = 7.5 (יחס הצללים).
- גובה המגדל: 1.6 · 7.5 = 12.
- גובה המגדל הוא 12 מטר.
תרגול מדורג - דמיון משולשים ומצולעים
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות הדמיון, יחס הדמיון ומשפט AA; יחס דמיון, צלעות, היקפים ושטחים; יישומים - צללים, מצולעים דומים ומדידה עקיפה; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל התרגילים משתמשים בערכי k נקיים, כך שהתשובות יוצאות מספרים שלמים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "דמיון". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1דמיון: אותה צורה, גודל שונה - זוויות מתאימות שוות וצלעות פרופורציונליות.
- 2יחס דמיון: k קבוע בכל זוג צלעות מתאימות; צלע מתאימה = צלע · k.
- 3משפט AA: שתי זוויות מתאימות שוות ← המשולשים דומים.
- 4יחס היקפים: k - כמו הצלעות בדיוק.
- 5יחס שטחים: k² - ביחס 2 השטח גדֵל פי 4; הפוך: k = יחס השטחים.
| יחס דמיון k | יחס היקפים (k) | יחס שטחים (k²) |
|---|---|---|
| 2 | ×2 | 2² = 4 |
| 3 | ×3 | 3² = 9 |
| 4 | ×4 | 4² = 16 |
| 5 | ×5 | 5² = 25 |
| ½ | ×½ | (½)² = ¼ |
