נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
דמיון משולשים

אותה צורה, מידה אחרת

שני משולשים דומים אם יש להם אותה צורה בדיוק אך בגודל שונה. כל הצלעות המתאימות גדֵלות באותו יחס דמיון k, וכל הזוויות שוות. נלמד את משפט הדמיון זווית-זווית, נחשב צלעות חסרות, ונגלה שיחס השטחים גדול פי k².

מעבדת הדמיון גררו את יחס הדמיון k וראו איך הצלעות והשטח משתנים
k = 2
הצלע המתאימה: 3 · 2 = 6
יחס הדמיון (k)2
הצלעות גדֵלות פי2
השטח גדֵל פי k²4

איך מודדים גובה של מגדל בלי לטפס? ביום שמש, המגדל וגם אדם לידו מטילים צל. קרני השמש יוצרות שני משולשים דומים - של האדם ושל המגדל. מכיוון שהצלעות פרופורציונליות, מספיק למדוד שני צללים וגובה אחד כדי לחשב את הגובה הנעלם.

מבט מקרוב

האנטומיה של דמיון

במשולשים דומים מסמנים את הקודקודים המתאימים לפי סדר: △ABC ∼ △DEF. הזוויות המתאימות שוות, והצלעות שמול אותן זוויות נמצאות ביחס קבוע - הוא יחס הדמיון k. כשמזהים את הצלעות המתאימות, כותבים פרופורציה ומחלצים את הצלע החסרה.

הצלעות המתאימות ביחס k
A B C AB ∼ D E F DE × k
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב דמיון משולשים

שישה מושגים של כיתה ח: ממשמעות הדמיון, דרך משפט זווית-זווית, ועד יחס השטחים k².

1

מהו דמיון

שני מצולעים דומים כשיש להם אותה צורה בגודל שונה: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות פרופורציונליות. מסמנים △ABC ∼ △DEF.

2

יחס הדמיון k

k הוא היחס הקבוע בין כל צלע במשולש אחד לצלע המתאימה בשני: k = DEAB. אותו k חוזר בכל זוג צלעות.

3

משפט זווית-זווית (AA)

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני - המשולשים דומים. הזווית השלישית ממילא שווה, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°.

4

חישוב צלע חסרה

כותבים פרופורציה בין שני זוגות צלעות מתאימות ומחלצים: אם k = 3 וצלע היא 4, הצלע המתאימה היא 4 · 3 = 12.

5

יחס השטחים k²

כשהצלעות גדֵלות פי k, השטח גדל פי k². ביחס דמיון 2 יחס השטחים הוא 2² = 4.

6

דמיון בעולם

מדידה עקיפה: גובה מגדל, עומק, או מרחק שאי אפשר למדוד ישירות - נחשבים בעזרת שני משולשים דומים, כמו שיטת הצללים ביום שמש.

×1 ×k
צלעות פי k
הצלעות המתאימות גדֵלות פי k
1 k²
שטח פי k²
השטח גדל פי k² - הרבה יותר מהר
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: מצלע מתאימה, דרך יחס שטחים, ועד חישוב גובה בשיטת הצללים.

דוגמה 1k = 3, AB = 4
  1. מזהים את יחס הדמיון: היחס הוא 1 : 3, כלומר k = 3.
  2. כותבים פרופורציה: הצלע המתאימה שווה לצלע כפול k: DE = AB · k = 4 · 3.
  3. מחשבים: DE = 12.
  4. הצלע המתאימה היא 12.
דוגמה 2k = 2, S₁ = 6
  1. יחס השטחים: השטח גדל פי k², ולכן k² = 2² = 4.
  2. מפעילים על השטח: אם שטח המשולש הקטן הוא 6, אז S₂ = 6 · 4.
  3. מחשבים: S₂ = 24.
  4. יחס השטחים הוא 4, והשטח הגדול הוא 24.
דוגמה 3אדם 1.6 מ׳, צל 2 מ׳ · צל מגדל 15 מ׳
  1. שני משולשים דומים (AA): קרן השמש יוצרת אותה זווית, ושתי הצורות זקופות - לפי זווית-זווית המשולשים דומים.
  2. יחס הדמיון: k = 152 = 7.5 (יחס הצללים).
  3. גובה המגדל: 1.6 · 7.5 = 12.
  4. גובה המגדל הוא 12 מטר.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1דמיון: אותה צורה, גודל שונה - זוויות מתאימות שוות וצלעות פרופורציונליות.
  • 2יחס דמיון: k קבוע בכל זוג צלעות מתאימות.
  • 3משפט AA: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים.
  • 4צלע חסרה: כותבים פרופורציה ומחלצים, למשל 4 · 3 = 12.
  • 5יחס שטחים: k² - ביחס 2 השטח גדל פי 4.
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את k. הצלעות גדלות פי k, והשטח פי k², וההפרש נראה מיד.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי