תרגול שיפוע הישר וקצב שינוי
כל מה שלמדנו על השיפוע - הנוסחה m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁), חישוב שיפוע משתי נקודות, סימן השיפוע (חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי), קריאת שיפוע מגרף וקצב שינוי אחיד - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב שיפוע בודד ועד ניתוח, איתור טעות וטענות ברמת מבחן. זכרו את הלב של הכול: m הוא השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x - אותו קצב לכל אורך הישר.
בכל שורה בחרו את התשובה הנכונה - חישוב השיפוע m משתי נקודות, וזיהוי אם הישר עולה, יורד או אופקי. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". m = השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
עלייה חלקי צעד. השיפוע m מודד כמה הישר עולה או יורד על כל צעד ימינה. בוחרים שתי נקודות, מחשבים את השינוי ב-y (rise) ואת השינוי ב-x (run), ומחלקים: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). הסימן מספר את הסיפור - m > 0 ישר עולה, m < 0 ישר יורד, m = 0 ישר אופקי. בדף הזה נחזור במהירות על הכללים.
האנטומיה של השיפוע - תזכורת
בוחרים שתי נקודות על הישר, (x₁, y₁) ו-(x₂, y₂). השינוי ב-y (rise) הוא y₂ - y₁, והשינוי ב-x (run) הוא x₂ - x₁. השיפוע הוא היחס ביניהם: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). חשוב לשמור על אותו סדר חיסור במונה ובמכנה.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום השיפוע וקצב השינוי של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מהנוסחה ומהסימן ועד ניתוח שיפוע מגרף וקצב שינוי אחיד.
נוסחת השיפוע
השיפוע הוא השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁). שתי נקודות מספיקות כדי לחשב אותו, ובלבד שהסדר במונה ובמכנה זהה.
שיפוע חיובי → עולה
כאשר m > 0 הישר עולה משמאל לימין: ככל ש-x גדל, גם y גדל. למשל m = 2.
שיפוע שלילי → יורד
כאשר m < 0 הישר יורד: ככל ש-x גדל, y קטן. ישר יורד תמיד בעל שיפוע שלילי, למשל m = -1.
אפס ולא מוגדר
כאשר m = 0 הישר אופקי (ערכי ה-y שווים). לעומת זאת בישר אנכי x₂ - x₁ = 0, ואי אפשר לחלק באפס - לישר אין שיפוע מוגדר.
קצב שינוי אחיד
השיפוע הוא קצב השינוי של הישר - כמה y משתנה על כל יחידת x. הקצב זהה בכל נקודה, למשל קצב מילוי של 3 ליטר לדקה.
תלילות וניתוח מגרף
מגרף בוחרים שתי נקודות סריג ברורות, סופרים rise ו-run, ומחשבים. ככל שהערך המוחלט |m| גדול יותר - הישר תלול יותר.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: בוחרים שתי נקודות, מוצאים את השינוי ב-y ואת השינוי ב-x, ומחלקים - באותו סדר. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- השינוי ב-y (rise): y₂ - y₁ = 8 - 2 = 6.
- השינוי ב-x (run): x₂ - x₁ = 4 - 1 = 3.
- מחלקים: m = 63 = 2. השיפוע חיובי, ולכן הישר עולה.
- השיפוע הוא m = 2.
- השינוי ב-y: 1 - 7 = -6.
- השינוי ב-x: 5 - 2 = 3.
- מחלקים: m = -63 = -2. השיפוע שלילי - הישר יורד.
- השיפוע הוא m = -2.
- השינוי ב-y: 2 - 0 = 2.
- השינוי ב-x: 4 - 0 = 4.
- מחלקים ומצמצמים: m = 24 = 0.5. חיובי - ישר עולה, מתון.
- השיפוע הוא m = 0.5.
תרגול מדורג - שיפוע הישר וקצב שינוי
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: חישוב שיפוע בסיסי וזיהוי סימן; שיפועים שליליים, שבריים וקצב שינוי; ניתוח שיפוע מגרף, תלילות וישר אנכי; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל השיפועים יוצאים נקיים - מספרים שלמים או 0.5. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "שיפוע משתי נקודות". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הנוסחה: m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) - שינוי ב-y חלקי שינוי ב-x, באותו סדר.
- 2חיובי: m > 0 → הישר עולה.
- 3שלילי: m < 0 → הישר יורד.
- 4אפס לעומת אנכי: m = 0 אופקי; ישר אנכי (Δx = 0) - אין שיפוע מוגדר.
- 5קצב שינוי ותלילות: השיפוע הוא כמה y משתנה על כל יחידת x; |m| גדול יותר = תלול יותר.
| הנקודות | החישוב | השיפוע והישר |
|---|---|---|
| (1, 2), (3, 8) | (8 - 2)/(3 - 1) = 62 | m = 3 · עולה |
| (0, 5), (5, 0) | (0 - 5)/(5 - 0) = -55 | m = -1 · יורד |
| (0, 0), (4, 2) | (2 - 0)/(4 - 0) = 24 | m = 0.5 · עולה |
| (2, 3), (4, 3) | (3 - 3)/(4 - 2) = 02 | m = 0 · אופקי |
| (1, 1), (1, 5) | Δx = 1 - 1 = 0 | אין שיפוע · אנכי |
