נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
הפונקציה הקווית

שיפוע וקצב שינוי

כיתה ח נכנסת אל לב הפונקציה הקווית: הישר הישר. השיפוע m מודד כמה עולה או יורד הישר על כל צעד ימינה - זהו קצב השינוי האחיד של הישר. נלמד לחשב אותו משתי נקודות, לזהות אותו מתוך גרף, ולנמק אם הישר עולה, יורד או אופקי.

מעבדת השיפוע גררו את שתי הנקודות וצפו ב-rise/run ובערך השיפוע
A B
m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)
שיפוע נוכחי: m = 2
נקודה A(1, 2)
נקודה B(4, 8)
שינוי ב-y (rise)6
שינוי ב-x (run)3
שיפוע חיובי - הישר עולה

מה זה שיפוע? דמיינו הליכה על גבעה. על כל צעד קדימה (השינוי ב-x) אתם עולים או יורדים קצת (השינוי ב-y). היחס בין העלייה לצעד הוא השיפוע - והוא זהה בכל נקודה על ישר. לכן הוא נקרא גם קצב שינוי אחיד: אותו קצב לכל אורך הישר.

מבט מקרוב

האנטומיה של השיפוע

כדי לחשב שיפוע בוחרים שתי נקודות על הישר: (x₁, y₁) ו-(x₂, y₂). השינוי ב-y (rise) הוא y₂ − y₁, והשינוי ב-x (run) הוא x₂ − x₁. השיפוע הוא היחס ביניהם: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁).

החלקים של חישוב השיפוע
m = y₂ − y₁ x₂ − x₁ השינוי ב-y (rise) השינוי ב-x (run) שיפוע m > 0 עולה m < 0 יורד m = 0 אופקי
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב את השיפוע

שישה מושגים על השיפוע וקצב השינוי של ישר, כפי שלומדים אותם בכיתה ח: מהנוסחה ועד ניתוח שיפוע מגרף עם נימוק.

1

נוסחת השיפוע

השיפוע הוא השינוי ב-y חלקי השינוי ב-x: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). שתי נקודות מספיקות כדי לחשב אותו.

2

שיפוע חיובי → עולה

כאשר m > 0 הישר עולה משמאל לימין: ככל ש-x גדל, גם y גדל. למשל m = 2.

3

שיפוע שלילי → יורד

כאשר m < 0 הישר יורד: ככל ש-x גדל, y קטן. ישר יורד תמיד בעל שיפוע שלילי.

4

שיפוע אפס → אופקי

כאשר m = 0 אין שינוי ב-y - הישר אופקי ומקביל לציר ה-x. הערך של y קבוע.

5

קצב שינוי אחיד

השיפוע הוא קצב השינוי של הישר - כמה y משתנה על כל יחידת x. הקצב זהה בכל נקודה, למשל קצב של 3 ליחידת זמן.

6

ניתוח שיפוע מגרף

מגרף בוחרים שתי נקודות סריג ברורות, סופרים rise ו-run, ומחשבים. ואז מנמקים: הישר עולה / יורד / אופקי, לפי סימן השיפוע.

m > 0
ישר עולה
ישר עולה - השיפוע חיובי (rise חיובי)
m < 0
ישר יורד
ישר יורד - השיפוע שלילי (rise שלילי)
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: בוחרים שתי נקודות, מוצאים את השינוי ב-y ואת השינוי ב-x, ומחלקים.

דוגמה 1A(1, 2), B(4, 8)
  1. השינוי ב-y (rise): y₂ − y₁ = 8 − 2 = 6.
  2. השינוי ב-x (run): x₂ − x₁ = 4 − 1 = 3.
  3. מחלקים: m = 63 = 2. השיפוע חיובי, ולכן הישר עולה.
  4. השיפוע הוא m = 2.
דוגמה 2A(2, 7), B(5, 1)
  1. השינוי ב-y: 1 − 7 = −6.
  2. השינוי ב-x: 5 − 2 = 3.
  3. מחלקים: m = −63 = −2. השיפוע שלילי - ישר יורד.
  4. השיפוע הוא m = −2.
דוגמה 3A(−2, 1), B(4, 4)
  1. השינוי ב-y: 4 − 1 = 3.
  2. השינוי ב-x: 4 − (−2) = 6. שימו לב לחיסור מספר שלילי.
  3. מחלקים ומצמצמים: m = 36 = 12. חיובי - ישר עולה, מתון.
  4. השיפוע הוא m = 12.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן עוסקים בחישוב שיפוע משתי נקודות, בסימן השיפוע ובקצב השינוי, ומסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ וללחוץ על לשונית מחשבון השיפוע.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הנוסחה: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) - שינוי ב-y חלקי שינוי ב-x.
  • 2חיובי: m > 0 → הישר עולה.
  • 3שלילי: m < 0 → הישר יורד.
  • 4אפס: m = 0 → הישר אופקי.
  • 5קצב שינוי: השיפוע הוא כמה y משתנה על כל יחידת x - אותו קצב בכל נקודה.
מפתח פתרונות (תרגול)

    היי! גללו במורד הדף ואני אלווה אתכם עם טיפ על השיפוע בכל שלב.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי