תרגול מערכת שתי משוואות
כל מה שלמדנו על מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים - הפתרון כזוג (x, y) שמקיים את שתי המשוואות, שיטת ההצבה ושיטת השוואת המקדמים (חיבור או חיסור לביטול נעלם), המשמעות הגרפית כנקודת החיתוך, ומספר הפתרונות - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מפתרון בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את השיטה: מבטלים נעלם (חיבור, חיסור או הצבה), מחלצים אותו, מציבים חזרה למציאת הנעלם השני, ותמיד בודקים בשתי המשוואות.
בכל שורה בחרו את הפתרון הנכון. מחברים או מחסרים כדי לבטל נעלם, מוצאים x, ומציבים כדי למצוא y - ובודקים בשתי המשוואות. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". חיבור מבטל נעלם · הצבה מוצאת את הנעלם השני
שתי דרישות, נקודה אחת. משוואה אחת בשני נעלמים היא ישר שלם של פתרונות. אבל כשמצרפים שתי משוואות יחד, בדרך כלל רק זוג (x, y) אחד מקיים את שתיהן - נקודת החיתוך של שני הישרים. איך מוצאים אותה? חיבור או חיסור של המשוואות מבטל נעלם, והצבה מחליפה נעלם בביטוי שווה. בשני המקרים נשארת משוואה אחת בנעלם אחד. בדף הזה נזכיר במהירות את שתי השיטות.
האנטומיה של מערכת - תזכורת
מערכת נכתבת כשתי משוואות זו מעל זו בתוך סוגר מסולסל. לכל משוואה שני נעלמים - x ו-y - כל אחד עם מקדם משלו, ואיבר חופשי. הפתרון הוא זוג מספרים אחד שמאמת את שתי השורות בו-זמנית. בכל שאלה: קודם מזהים את המקדמים, ואז בוחרים שיטה לביטול נעלם.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום מערכת שתי המשוואות של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: משתי השיטות האלגבריות, דרך המשמעות הגרפית, ועד השאלה כמה פתרונות בכלל קיימים.
מהי מערכת בשני נעלמים
שתי משוואות ליניאריות עם אותם שני נעלמים, למשל x + y = 10 ו-x - y = 2. פתרון המערכת הוא זוג (x, y) אחד שמקיים את שתי המשוואות.
שיטת ההצבה
מבודדים נעלם אחד במשוואה אחת ומציבים במשוואה השנייה. למשל אם 2x + y = 7 ונתון x = 3, מציבים ומקבלים y = 1.
שיטת השוואת המקדמים
מחברים או מחסרים את המשוואות כדי לבטל נעלם. מ-x + y = 10 ו-x - y = 2 חיבור נותן 2x = 12, ומכאן x = 6.
הקשר לפתרון הגרפי
כל משוואה היא ישר במערכת הצירים. הפתרון של המערכת הוא בדיוק נקודת החיתוך של שני הישרים - הנקודה היחידה ששייכת לשניהם.
מספר הפתרונות
שני ישרים נחתכים → פתרון יחיד. ישרים מקבילים (שיפוע שווה, חיתוך שונה) → אין פתרון. ישרים מתלכדים → אינסוף פתרונות.
בדיקה בהצבה
אחרי שמצאו x ו-y, מציבים אותם חזרה בשתי המשוואות המקוריות ומוודאים ששני השוויונות מתקיימים בו-זמנית.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשתי הדרכים: לפעמים נוח לחבר משוואות, ולפעמים נוח להציב - ותמיד בודקים בסוף. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- משווים מקדמים (חיבור): מחברים את שתי המשוואות. ה-y מתבטל: (x + y) + (x - y) = 10 + 4, כלומר 2x = 14.
- מחלצים את x: x = 7.
- מציבים חזרה: ב-x + y = 10 מקבלים 7 + y = 10, ולכן y = 3.
- בדיקה: 7 - 3 = 4. שתי המשוואות מתקיימות.
- הפתרון הוא (x, y) = (7, 3).
- מבודדים במשוואה השנייה: מ-x - y = 2 מקבלים x = y + 2.
- מציבים בראשונה: 2(y + 2) + y = 7, כלומר 2y + 4 + y = 7, ואז 3y = 3.
- מחלצים: y = 1, ולכן x = y + 2 = 3.
- בדיקה: 2·3 + 1 = 7 וגם 3 - 1 = 2.
- הפתרון הוא (x, y) = (3, 1).
- משווים אגפים: שני האגפים שווים ל-y, לכן 2x + 1 = 2x - 3.
- מכנסים: מפחיתים 2x משני האגפים ומקבלים 1 = -3 - שוויון שלא ייתכן.
- קריאה גרפית: לשני הישרים שיפוע זהה 2 אך חיתוך שונה עם ציר ה-y, ולכן הם מקבילים ואינם נחתכים.
- למערכת אין פתרון (ישרים מקבילים).
תרגול מדורג - מערכת שתי משוואות
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: פתרון בסיסי בחיבור והצבה וזיהוי פתרון; שתי השיטות ומספר הפתרונות; בעיות מילוליות, צעד הביטול הראשון ומערכות מיוחדות; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל המערכות בעלות פתרון שלם, כך שהתשובות יוצאות מספרים שלמים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור ללשונית "פותר מערכת". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1הצבה: מבודדים נעלם ומציבים במשוואה השנייה.
- 2השוואת מקדמים: מחברים או מחסרים כדי לבטל נעלם, למשל 2x = 12.
- 3משמעות גרפית: הפתרון הוא נקודת החיתוך של שני הישרים.
- 4מספר פתרונות: נחתכים = 1, מקבילים = 0, מתלכדים = אינסוף.
- 5בדיקה: מציבים (x, y) בשתי המשוואות המקוריות.
| המערכת | השיטה | הפתרון (x, y) |
|---|---|---|
| x + y = 10 , x - y = 2 | חיבור | (6, 4) |
| 2x + y = 11 , x - y = 1 | חיבור | (4, 3) |
| y = x - 2 , x + y = 8 | הצבה | (5, 3) |
| y = 3x + 1 , y = 3x - 5 | גרפית | אין פתרון |
| y = 2x + 4 , 2y = 4x + 8 | גרפית | אינסוף |
