נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
מערכת שתי משוואות

הצומת של שני ישרים

מערכת של שתי משוואות בשני נעלמים היא שאלה אחת: איזה זוג (x, y) מקיים את שתי המשוואות בבת אחת? נלמד לפתור בשיטת ההצבה ובשיטת השוואת המקדמים, ונראה למה הפתרון הוא בדיוק נקודת החיתוך של שני הישרים.

מעבדת שני הישרים גררו את הסליידרים וצפו במספר הפתרונות
קו כחול: y = x + 2
קו זהב: y = -x + 4
נקודת חיתוך: (1, 3)
שיפוע הקו הכחול (m₁)1
חיתוך הקו הכחול (b₁)2
שיפוע הקו הזהב (m₂)-1
חיתוך הקו הזהב (b₂)4
קו כחול קו זהב
נחתכים בנקודה אחת - פתרון יחיד

למה מערכת? משוואה אחת בשני נעלמים היא ישר שלם של פתרונות. אבל כשמצרפים שתי דרישות יחד, רק נקודה אחת (לרוב) מקיימת את שתיהן - נקודת החיתוך של שני הישרים. שם, ורק שם, גם x וגם y מסתדרים בשתי המשוואות.

מבט מקרוב

האנטומיה של מערכת

מערכת נכתבת כשתי משוואות זו מעל זו בתוך סוגר מסולסל. לכל משוואה שני נעלמים - x ו-y - כל אחד עם מקדם משלו, ואיבר חופשי באגף הימני. הפתרון הוא זוג מספרים אחד שמאמת את שתי השורות.

החלקים של מערכת
2 x + 3 y = 18 x − y = -1 מקדם של x מקדם של y איבר חופשי משוואה 1 משוואה 2 הפתרון: זוג (x, y) אחד שמקיים את שתי השורות - כאן (3, 4)
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב פתרון של מערכת

שישה מושגים של כיתה ח: משתי שיטות אלגבריות, דרך המשמעות הגרפית, ועד השאלה כמה פתרונות בכלל קיימים.

1

מהי מערכת בשני נעלמים

שתי משוואות ליניאריות עם אותם שני נעלמים, למשל x + y = 10 ו-x − y = 4. פתרון המערכת הוא זוג (x, y) אחד שמקיים את שתי המשוואות.

2

שיטת ההצבה

מבודדים נעלם אחד במשוואה אחת ומציבים במשוואה השנייה. למשל אם 2x + y = 7 ונתון x = 3, מציבים ומקבלים y = 1.

3

שיטת השוואת המקדמים

מחברים או מחסרים את המשוואות כדי לבטל נעלם. מ-x + y = 10 ו-x − y = 4 חיבור נותן 2x = 14, ומכאן x = 7.

4

הקשר לפתרון הגרפי

כל משוואה היא ישר במערכת הצירים. הפתרון של המערכת הוא בדיוק נקודת החיתוך של שני הישרים - הנקודה היחידה ששייכת לשניהם.

5

מספר הפתרונות

שני ישרים נחתכים → פתרון יחיד. ישרים מקבילים (שיפוע שווה, חיתוך שונה) → אין פתרון. ישרים מתלכדים → אינסוף פתרונות.

6

בדיקה בהצבה

אחרי שמצאו x ו-y, מציבים אותם חזרה בשתי המשוואות המקוריות ומוודאים ששני השוויונות מתקיימים בו-זמנית.

ישרים נחתכים
נחתכים בנקודה אחת → פתרון יחיד
ישרים מקבילים
מקבילים, אותו שיפוע → אין פתרון
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשתי הדרכים: לפעמים נוח לחבר משוואות, ולפעמים נוח להציב.

דוגמה 1x + y = 10 , x − y = 4
  1. משווים מקדמים (חיבור): מחברים את שתי המשוואות. ה-y מתבטל: (x + y) + (x − y) = 10 + 4, כלומר 2x = 14.
  2. מחלצים את x: x = 7.
  3. מציבים חזרה: ב-x + y = 10 מקבלים 7 + y = 10, ולכן y = 3.
  4. בדיקה: 7 − 3 = 4. ✓ שתי המשוואות מתקיימות.
  5. הפתרון הוא (x, y) = (7, 3).
דוגמה 22x + y = 7 , x − y = 2
  1. מבודדים במשוואה השנייה: מ-x − y = 2 מקבלים x = y + 2.
  2. מציבים בראשונה: 2(y + 2) + y = 7, כלומר 2y + 4 + y = 7, ואז 3y = 3.
  3. מחלצים: y = 1, ולכן x = y + 2 = 3.
  4. בדיקה: 2·3 + 1 = 7. ✓
  5. הפתרון הוא (x, y) = (3, 1).
דוגמה 3y = 2x + 1 , y = 2x − 3
  1. משווים אגפים: שני האגפים שווים ל-y, לכן 2x + 1 = 2x − 3.
  2. מכנסים: מפחיתים 2x משני האגפים ומקבלים 1 = −3 - אי-שוויון שלא ייתכן.
  3. קריאה גרפית: לשני הישרים שיפוע זהה 2 אך חיתוך שונה עם ציר ה-y, ולכן הם מקבילים ואינם נחתכים.
  4. למערכת אין פתרון (ישרים מקבילים).
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולעבור לטאב פותר המערכת.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1הצבה: מבודדים נעלם ומציבים במשוואה השנייה.
  • 2השוואת מקדמים: מחברים או מחסרים כדי לבטל נעלם, למשל 2x = 14.
  • 3משמעות גרפית: הפתרון הוא נקודת החיתוך של שני הישרים.
  • 4מספר פתרונות: נחתכים = 1, מקבילים = 0, מתלכדים = ∞.
  • 5בדיקה: מציבים (x, y) בשתי המשוואות.
מפתח פתרונות (תרגול)

    שני הישרים נחתכים בנקודת הפתרון. גררו וראו מתי הם מקבילים ואין פתרון.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי