תרגול אי-שוויון המשולש והתיכון
כל מה שלמדנו על המשולש - אי-שוויון המשולש (סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית), הבדיקה המהירה של שתי הקצרות מול הארוכה, טווח הצלע השלישית בין ההפרש לסכום, וגם התיכון: קטע מקדקוד לאמצע הצלע שממול, החוצה אותה לשני חלקים שווים ומחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שטח - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מבדיקה בודדת ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הכלל: די לבדוק שסכום שתי הצלעות הקצרות גדול מהצלע הארוכה ביותר.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה באי-שוויון המשולש ובתיכון. בדיקת אי-שוויון: סכום שתי הקצרות מול הארוכה; טווח הצלע השלישית: הפרש < x < סכום; והתיכון חוצה את הצלע לשני חלקים שווים. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". הפרש < x < סכום · תיכון = חצי הצלע
3, 4 ו-8? קחו שלושה מקלות באורכים 3, 4 ו-8 ונסו לסגור איתם משולש. לא תצליחו: שני הקצרים יחד, 3 + 4 = 7, קצרים מהארוך 8 - הם לא נפגשים. זהו בדיוק אי-שוויון המשולש: סכום כל שתי צלעות חייב להיות גדול מהשלישית, ודי לבדוק את שתי הקצרות מול הארוכה. בדף הזה נזכיר במהירות את הכללים - אי-שוויון, טווח הצלע השלישית והתיכון.
האנטומיה של התיכון - תזכורת
תיכון במשולש הוא קטע היוצא מקדקוד ומגיע אל אמצע הצלע שממול לו. הוא חוצה את אותה צלע לשני חלקים שווים - אם הצלע אורכה 10, כל חלק אורכו 5. לכל משולש שלושה תיכונים - אחד מכל קדקוד - והם נפגשים כולם בנקודה פנימית אחת. תכונה נוספת: התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שטח (בסיס שווה ואותו גובה), אך לא בהכרח חופפים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה רעיונות של כיתה ח, בקצרה, בדיוק כפי שהם מופיעים בדף הלימוד: מאי-שוויון המשולש והבדיקה המהירה, דרך טווח הצלע השלישית, ועד התיכון, שלושת התיכונים והתכונה של שטח שווה.
אי-שוויון המשולש
בכל משולש, סכום כל שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. אם a, b, c הן הצלעות, אז a + b > c, וגם a + c > b, וגם b + c > a.
הבדיקה המהירה
מספיק לבדוק שסכום שתי הצלעות הקצרות גדול מהצלע הארוכה ביותר. אם זה מתקיים - יש משולש; אם לא - אין. למשל 3, 4, 8: כאן 3 + 4 = 7 < 8, ולכן אין משולש.
טווח הצלע השלישית
אם שתי צלעות ידועות, השלישית לכודה בין ההפרש לסכום שלהן. לצלעות 5 ו-9, הצלע השלישית x מקיימת 4 < x < 14.
מהו תיכון
תיכון הוא קטע מקדקוד אל אמצע הצלע שממול. הוא חוצה את הצלע לשני חלקים שווים: אם התיכון מגיע לאמצע צלע שאורכה 10, כל חלק אורכו 5.
שלושת התיכונים
מכל אחד משלושת הקדקודים יוצא תיכון - סך הכול שלושה תיכונים בכל משולש. שלושתם נחתכים בנקודה פנימית אחת משותפת.
תיכון ושטח
התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה: לשניהם בסיס שווה (חצאי הצלע) ואותו גובה. הם שווי-שטח - אך לא בהכרח חופפים.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: בדיקת אי-שוויון המשולש, מציאת טווח הצלע השלישית, וחלוקת צלע על ידי תיכון. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים את הארוכה: הצלע הארוכה ביותר היא 8.
- מסכמים את השתיים הקצרות: 3 + 4 = 7.
- משווים: 7 < 8 - הסכום קטן מהצלע הארוכה, אי-שוויון המשולש מופר.
- אין משולש: המספרים 3, 4, 8 אינם יכולים להיות צלעותיו.
- חסם עליון: הצלע קטנה מסכום השתיים: x < 5 + 9 = 14.
- חסם תחתון: הצלע גדולה מההפרש שלהן: x > 9 - 5 = 4.
- מאחדים: שני התנאים יחד נותנים 4 < x < 14.
- כל אורך x בטווח 4 < x < 14 סוגר משולש.
- נזכרים בהגדרה: התיכון מגיע אל אמצע הצלע וחוצה אותה לשני חלקים שווים.
- מחלקים: 102 = 5.
- מסקנה: שני חלקי הבסיס שווים, כל אחד באורך 5.
- כל חלק של הבסיס אורכו 5.
תרגול מדורג - אי-שוויון המשולש והתיכון
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: יסודות אי-שוויון המשולש והתיכון; טווח הצלע השלישית ואי-שוויון; תיכון, שטח ויישומים; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל התרגילים משתמשים במספרים נקיים, כך שכל תשובה מספרית יוצאת שלמה. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "בדיקת משולש" ולבדוק אם שלוש צלעות סוגרות משולש. בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1אי-שוויון המשולש: סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית - a + b > c.
- 2בדיקה מהירה: די לבדוק שסכום שתי הקצרות גדול מהארוכה.
- 3טווח הצלע השלישית: בין ההפרש לסכום, למשל 4 < x < 14.
- 4תיכון: מקדקוד לאמצע הצלע שממול, וחוצה אותה לשני חלקים שווים.
- 5תיכון ושטח: מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שטח (לא בהכרח חופפים); בכל משולש 3 תיכונים.
| שתי הצלעות | חסם תחתון (הפרש) | חסם עליון (סכום) | הטווח |
|---|---|---|---|
| 5, 9 | 4 | 14 | 4 < x < 14 |
| 5, 8 | 3 | 13 | 3 < x < 13 |
| 7, 10 | 3 | 17 | 3 < x < 17 |
| 6, 6 | 0 | 12 | 0 < x < 12 |
| 8, 8 | 0 | 16 | 0 < x < 16 |
