נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ח׳ חטיבת הביניים
גיאומטריה של המשולש

אילו צלעות סוגרות משולש?

לא כל שלושה מספרים יכולים להיות אורכי צלעות של משולש. כלל אחד פשוט - אי-שוויון המשולש - מכריע: סכום כל שתי צלעות חייב להיות גדול מהצלע השלישית. באותו שיעור נכיר גם את התיכון, הקטע מקדקוד לאמצע הצלע שממול, ונראה מה הוא עושה למשולש.

בונים משולש גררו את שלוש הצלעות - האדום מסמן שהמשולש לא נסגר
A B C c = 8 a = 6 b = 6
6, 6, 8
בדיקה: 6 + 6 > 8 ✓
צלע a6
צלע b6
צלע c (בסיס)8
גררו את הצלעות - האדום מסמן שהמשולש לא נסגר

3, 4 ו-8? קחו שלושה מקלות באורכים 3, 4 ו-8 ונסו לסגור איתם משולש. לא תצליחו: שני הקצרים יחד, 3 + 4 = 7, קצרים מהארוך 8 - הם לא נפגשים. זהו בדיוק אי-שוויון המשולש בפעולה.

מבט מקרוב

האנטומיה של התיכון

תיכון במשולש הוא קטע היוצא מקדקוד ומגיע אל אמצע הצלע שממול לו. הוא חוצה את אותה צלע לשני חלקים שווים. לכל משולש שלושה תיכונים - אחד מכל קדקוד - והם נפגשים כולם בנקודה אחת.

תיכון מקדקוד לאמצע הצלע שממול
A B C M תיכון AM MB AM = MB (חצאים שווים)
נכיר צעד אחר צעד

הכללים של המשולש

שישה רעיונות של כיתה ח: מאי-שוויון המשולש ועד התיכון והתכונה המפתיעה שלו - חלוקה לשני משולשים שווי-שטח.

1

אי-שוויון המשולש

בכל משולש, סכום כל שתי צלעות גדול מהצלע השלישית. אם a, b, c הן הצלעות, אז a + b > c, וגם a + c > b, וגם b + c > a.

2

הבדיקה המהירה

מספיק לבדוק שסכום שתי הצלעות הקצרות גדול מהצלע הארוכה ביותר. אם זה מתקיים - יש משולש; אם לא - אין. למשל 3, 4, 8: כאן 3 + 4 = 7 < 8, ולכן אין משולש.

3

טווח הצלע השלישית

אם שתי צלעות ידועות, השלישית לכודה בין ההפרש לסכום שלהן. לצלעות 5 ו-9, הצלע השלישית x מקיימת 4 < x < 14.

4

מהו תיכון

תיכון הוא קטע מקדקוד אל אמצע הצלע שממול. הוא חוצה את הצלע לשני חלקים שווים: אם התיכון מגיע לאמצע צלע שאורכה 10, כל חלק אורכו 5.

5

שלושת התיכונים

מכל אחד משלושת הקדקודים יוצא תיכון - סך הכול שלושה תיכונים בכל משולש. שלושתם נחתכים בנקודה פנימית אחת משותפת.

6

תיכון ושטח

התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים בעלי שטח שווה: לשניהם בסיס שווה (חצאי הצלע) ואותו גובה. הם שווי-שטח - אך לא בהכרח חופפים.

5 + 6 > 8
משולש נסגר
סכום שתי הקצרות גדול מהארוכה → יש משולש
✗ 3 + 4 < 8
לא נסגר
סכום שתי הקצרות קטן או שווה לארוכה → אין משולש
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד: בדיקת אי-שוויון המשולש, מציאת טווח הצלע השלישית, וחלוקת צלע על ידי תיכון.

דוגמה 13, 4, 8 - האם יש משולש?
  1. מזהים את הארוכה: הצלע הארוכה ביותר היא 8.
  2. מסכמים את השתיים הקצרות: 3 + 4 = 7.
  3. משווים: 7 < 8 - הסכום קטן מהצלע הארוכה, אי-שוויון המשולש מופר.
  4. אין משולש: המספרים 3, 4, 8 אינם יכולים להיות צלעותיו.
דוגמה 2שתי צלעות הן 5 ו-9. מהו טווח הצלע השלישית x?
  1. חסם עליון: הצלע קטנה מסכום השתיים: x < 5 + 9 = 14.
  2. חסם תחתון: הצלע גדולה מההפרש שלהן: x > 9 - 5 = 4.
  3. מאחדים: שני התנאים יחד נותנים 4 < x < 14.
  4. כל אורך x בטווח 4 < x < 14 סוגר משולש.
דוגמה 3במשולש בסיס באורך 10, ותיכון מגיע לאמצעו. מהו אורך כל חלק?
  1. נזכרים בהגדרה: התיכון מגיע אל אמצע הצלע וחוצה אותה לשני חלקים שווים.
  2. מחלקים: 102 = 5.
  3. מסקנה: שני חלקי הבסיס שווים, כל אחד באורך 5.
  4. כל חלק של הבסיס אורכו 5.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן מסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ ולבדוק אם שלוש צלעות סוגרות משולש.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1אי-שוויון המשולש: סכום כל שתי צלעות גדול מהשלישית - a + b > c.
  • 2בדיקה מהירה: די לבדוק שסכום שתי הקצרות גדול מהארוכה.
  • 3טווח הצלע השלישית: בין ההפרש לסכום, למשל 4 < x < 14.
  • 4תיכון: מקדקוד לאמצע הצלע שממול, וחוצה אותה לשני חלקים שווים.
  • 5תיכון ושטח: מחלק את המשולש לשני משולשים שווי-שטח (לא בהכרח חופפים).
מפתח פתרונות (תרגול)

    גררו את שלוש הצלעות. כשהאדום נדלק, שתי הקצרות כבר אינן מגיעות לארוכה.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי