נדב כץלמידה ברמה אחרת
מתמטיקה · כיתה ט׳ חטיבת הביניים
שברים אלגבריים

לצמצם את השבר האלגברי

שבר אלגברי הוא מנה של שני ביטויים. הסוד הוא אחד: מפרקים לגורמים את המונה ואת המכנה, ומצמצמים גורם משותף. גררו במעבדה וראו איך הגורם המשותף נמחק ומה נשאר.

מעבדת הצמצום בחרו שבר וצפו בגורם המשותף נמחק
=
y = x²
תחום הצבה: x ≠ 3
בחרו שבר1 / 4
לחצו "צמצום" כדי למחוק את הגורם המשותף

למה לצמצם? בשבר מספרי כמו 69 מחלקים מונה ומכנה ב-3 ומקבלים 23. בשבר אלגברי עושים בדיוק אותו דבר - רק שקודם צריך לפרק לגורמים כדי לגלות מה משותף. אחרי הפירוק, הגורם המשותף נמחק, והשבר מתפשט לצורה קצרה ופשוטה.

מבט מקרוב

האנטומיה של שבר אלגברי

לכל שבר אלגברי יש מונה (למעלה) ומכנה (למטה), שניהם ביטויים אלגבריים. אחרי פירוק לגורמים מזהים את הגורם המשותף שאפשר לצמצם, ולא שוכחים את תחום ההצבה - הערכים שמאפסים את המכנה אסורים.

החלקים של שבר אלגברי
x² − 9 x − 3 מונה מכנה קו השבר תחום הצבה: x ≠ 3 (המכנה אסור להתאפס)
נכיר צעד אחר צעד

מה מרכיב שבר אלגברי

שישה רעיונות שייתנו לכם שליטה מלאה בשברים אלגבריים: מצמצום ועד חיבור במכנה משותף. נסו לשנות במעבדה שלמעלה ולראות איך כל צעד עובד.

1

מהו שבר אלגברי

מנה של שני ביטויים אלגבריים, למשל x² - 9x - 3. המונה למעלה, המכנה למטה, והמכנה אסור שיהיה שווה לאפס.

2

תחום ההצבה

כל ערך שמאפס את המכנה אסור. ב-x² - 9x - 3 חייבים x ≠ 3, אחרת המכנה מתאפס והשבר אינו מוגדר.

3

צמצום בעזרת פירוק

מפרקים מונה ומכנה לגורמים ומוחקים גורם משותף: (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3.

4

כפל שברים

כופלים מונה במונה ומכנה במכנה, ומצמצמים גורמים משותפים: xx + 2 · x + 23 = x3.

5

חילוק שברים

חילוק הוא כפל בהופכי: הופכים את השבר השני (מונה למכנה ולהפך) וכופלים, בדיוק כמו בשברים מספריים.

6

חיבור במכנה משותף

מביאים למכנה משותף ומחברים מונים: 1x + 1x + 1 = 2x + 1x(x + 1).

(x−3)(x+3) (x−3) = x + 3
אחרי פירוק
מפרקים לגורמים ומוחקים גורם משותף
x² − 9 x − 3 ✗
לפני פירוק
בלי פירוק אין מה למחוק - קודם מפרקים
נפתור יחד

דוגמאות פתורות

שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מפרקים לגורמים, מוחקים גורם משותף, ולא שוכחים את תחום ההצבה.

דוגמה 1(x² - 9) / (x - 3)
  1. מפרקים את המונה: x² - 9 הוא הפרש ריבועים, ולכן x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
  2. כותבים מחדש: (x - 3)(x + 3)x - 3, והגורם (x - 3) משותף למונה ולמכנה.
  3. מצמצמים: מוחקים את (x - 3) ונשאר x + 3.
  4. התוצאה היא x + 3, בתנאי x ≠ 3.
דוגמה 2(x² - 4) / (x² - 4x + 4)
  1. מפרקים את המונה: הפרש ריבועים, x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
  2. מפרקים את המכנה: טרינום שהוא ריבוע, x² - 4x + 4 = (x - 2)².
  3. מצמצמים: (x - 2)(x + 2)(x - 2)², מוחקים (x - 2) אחד.
  4. התוצאה היא x + 2x - 2, בתנאי x ≠ 2.
דוגמה 31/x + 1/(x + 1)
  1. מכנה משותף: המכנה המשותף הוא x(x + 1).
  2. מרחיבים כל שבר: x + 1x(x + 1) + xx(x + 1).
  3. מחברים מונים: (x + 1) + x = 2x + 1.
  4. התוצאה היא 2x + 1x(x + 1), בתנאי x ≠ 0 ו-x ≠ -1.
תרגלו ובדקו את עצמכם

תרגול אינטראקטיבי

ניקוד: 0 / 0

כל התרגילים כאן עוסקים בצמצום, בכפל, בחיבור במכנה משותף ובתחום ההצבה, ומסודרים לפי שלבים (בסיס, ביניים, אתגר). בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.

לוח המשחק

דרכים לתרגל את הדף הזה

המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.

0%
שליטה
0חדש
0בלימוד
0בחזרה
0שולט

הנקודות שכדאי לזכור

  • 1פירוק קודם: מפרקים מונה ומכנה לגורמים לפני כל צמצום.
  • 2צמצום: מוחקים גורם משותף, למשל (x - 3)(x + 3)x - 3 = x + 3.
  • 3תחום הצבה: כל ערך שמאפס את המכנה אסור, למשל x ≠ 3.
  • 4כפל וחילוק: כופלים מונה במונה ומכנה במכנה; חילוק הוא כפל בהופכי.
  • 5חיבור: מביאים למכנה משותף ומחברים מונים בלבד.
מפתח פתרונות (תרגול)

    בחרו שבר וראו את הגורם המשותף נמחק. מה שנשאר הוא השבר המצומצם.

    תצוגת דף עבודה כל השאלות פתוחות, בלי מענה אינטראקטיבי