תרגול גאומטריה אנליטית
כל מה שלמדנו על מערכת הצירים - נקודה כזוג שיעורים, ההפרשים Δx ו-Δy, אורך קטע בעזרת משפט פיתגורס, השיפוע m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) ושטח מלבן לפי קדקודיו - עכשיו לתרגול. כאן לא לומדים מחדש אלא מתרגלים: תזכורת קצרה, ואז 24 שאלות מדורגות מחישוב בודד ועד ניתוח ואיתור טעות ברמת מבחן. זכרו את הלב של הכול: קודם מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה.
בכל שורה בחרו את התוצאה הנכונה בכלים של חטיבת הביניים: קטע מקביל לציר = הפרש שיעורים, קטע אלכסוני = היתר של משולש שניצביו Δx ו-Δy (פיתגורס), שיפוע = Δy / Δx. השורה הראשונה היא דוגמה פתורה. אחר כך לחצו על "בדיקה". קטע אופקי = |x₂ - x₁| · קטע אלכסוני = היתר, לפי פיתגורס · שיפוע = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
אורך או שיפוע? אותן שתי נקודות, שתי שאלות שונות - ושתיהן נשענות על אותם הפרשים. "מה אורך הקטע?" - אם הוא מקביל לציר, זהו הפרש שיעורים אחד; ואם הוא אלכסוני, הוא היתר של משולש שניצביו |Δx| ו-|Δy|, ומפעילים את משפט פיתגורס. "מה השיפוע?" - m = Δy / Δx, וכאן הוא משמש לקביעת הקבלה. תמיד מתחילים באותו צעד: מזהים את השיעורים ומחשבים את Δx ו-Δy.
האנטומיה של קטע במערכת צירים - תזכורת
לכל קטע במישור שתי נקודות קצה, ולכל נקודה שני שיעורים. מההפרשים בין השיעורים - Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁ - נגזרים אורך הקטע, בעזרת משפט פיתגורס, והשיפוע. בכל שאלה: קודם זהו את השיעורים ואת ההפרשים.
שש כרטיסיות תזכורת
שישה מושגים מתחום הגאומטריה האנליטית של כיתה ט, בקצרה: מנקודה וההפרשים, דרך אורך קטע ושיפוע, ועד מרובע לפי קדקודיו.
נקודה במערכת הצירים
כל נקודה נכתבת כזוג סדור (x, y): השיעור הראשון אופקי והשני אנכי. הראשית היא (0, 0).
ההפרשים Δx ו-Δy
בין שתי נקודות מחשבים Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁. שני מספרים אלה הם הבסיס לכל שאר הנוסחאות.
אורך קטע שאינו מקביל לצירים
משלימים את הקטע למשולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים: הניצבים הם |Δx| ו-|Δy|, והקטע הוא היתר. משפט פיתגורס נותן את אורכו. עם שלשה שלמה התוצאה יוצאת מספר שלם, למשל 3, 4, 5.
אורך קטע מקביל לציר
אם שתי הנקודות חולקות את אותו y, הקטע מקביל לציר x ואורכו |Δx| בלבד. אם הן חולקות את אותו x - אורכו |Δy|. אלה הקטעים שנמדדים בלי פיתגורס.
שיפוע הישר
השיפוע מודד תלילות: m = ΔyΔx = y₂ - y₁x₂ - x₁. חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי; בישר אנכי אין שיפוע מוגדר.
מרובע לפי קדקודיו
מזהים מרובע לפי שיעורי קדקודיו ומחשבים שטח. למלבן שצלעותיו מקבילות לצירים השטח הוא מכפלת אורכי הצלעות.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות צעד אחר צעד. השיטה קבועה: מזהים שיעורים, מחשבים את Δx ו-Δy, ומציבים בנוסחה המתאימה. אותה שיטה תעבוד בתרגול.
- מזהים שיעורים: (x₁, y₁) = (2, 1) ו-(x₂, y₂) = (5, 5).
- הניצבים והיתר: הניצב האופקי |Δx| = 5 - 2 = 3, הניצב האנכי |Δy| = 5 - 1 = 4, והקטע הוא היתר.
- פיתגורס: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, ולכן האורך הוא 25 = 5.
- אורך הקטע הוא 5.
- ההפרשים: Δx = 7 - 1 = 6 ו-Δy = 10 - 2 = 8.
- הניצבים והיתר: הניצבים הם 6 ו-8, והקטע הוא היתר.
- פיתגורס: 6² + 8² = 100, ולכן האורך 10.
- אורך הקטע הוא 10.
- השינוי ב-y: Δy = 8 - 2 = 6.
- השינוי ב-x: Δx = 3 - 1 = 2.
- מחלקים: m = 62 = 3. שיפוע חיובי - הישר עולה.
- השיפוע הוא m = 3.
תרגול מדורג - גאומטריה אנליטית
ארבעה סטים, מהקל אל הקשה: אורכי קטעים בסיסיים; שיפוע, אורך קטע ושטח מלבן; שילוב הכלים, שיעורים שליליים, ישר אנכי ומקבילים; ועד ניתוח, איתור טעות וטענות נכון או לא נכון ברמת מבחן. כל האורכים יוצאים שלמים (שלשות פיתגוריות), והשיפועים נקיים. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ עם לשונית "שתי נקודות". בחרו תשובה, בדקו, והתקדמו לסט הבא.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1קטע מקביל לציר: אורכו הוא הפרש השיעורים באותו כיוון - |Δx| לקטע אופקי, |Δy| לאנכי.
- 2קטע אלכסוני: משלימים משולש ישר-זווית שניצביו |Δx| ו-|Δy|, והקטע הוא היתר - ומפעילים את משפט פיתגורס.
- 3שיפוע: m = y₂ - y₁x₂ - x₁ - חיובי עולה, שלילי יורד, אפס אופקי, אנכי לא מוגדר.
- 4Δx ו-Δy: תמיד מחסירים באותו סדר: קצה שני פחות קצה ראשון.
- 5שטח מלבן: כשהצלעות מקבילות לצירים, השטח הוא אורך · רוחב.
| הנקודות | החישוב | התוצאה |
|---|---|---|
| (0, 0), (3, 4) | 3² + 4² = 25 | אורך 5 |
| (0, 0), (6, 8) | 6² + 8² = 100 | אורך 10 |
| (3, 1), (3, 9) | |9 - 1| | אורך 8 |
| (1, 2), (3, 8) | (8 - 2)/(3 - 1) = 62 | m = 3 · עולה |
| (0, 5), (5, 0) | (0 - 5)/(5 - 0) = -55 | m = -1 · יורד |
