הגאומטריה פוגשת את מערכת הצירים
כל נקודה היא זוג מספרים, וכל קטע הופך לחישוב מדויק. נלמד למצוא אורך של קטע מהפרשי השיעורים ובעזרת משפט פיתגורס, לחשב שיפוע ולבדוק בעזרתו אם ישרים מקבילים, ולזהות מרובעים לפי קדקודיהם. גררו את הנקודות במעבדה וראו איך האורך והשיפוע משתנים.
למה גאומטריה אנליטית? במקום למדוד קטעים בסרגל, מיקום כל נקודה מתואר בשני מספרים - שיעור x ושיעור y. קטע שמקביל לציר נמדד בהפרש שיעורים אחד, וקטע אלכסוני הוא היתר של משולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים - ולכן משפט פיתגורס עושה את העבודה, בלי שרטוט ובלי סרגל. כך אלגברה וגאומטריה נעשות שפה אחת.
האנטומיה של קטע במערכת צירים
לכל קטע במישור יש שתי נקודות קצה, ולכל נקודה שני שיעורים. מההפרשים בין השיעורים - Δx ו-Δy - נגזרות שתי התוצאות המרכזיות: אורך הקטע, בעזרת משפט פיתגורס, והשיפוע. כשמזהים את החלקים, ברור מה מחשבים בכל שאלה.
מה מרכיב גאומטריה אנליטית
שישה מושגים שייתנו לכם שליטה מלאה במערכת הצירים. נסו לגרור את הנקודות במעבדה שלמעלה תוך כדי קריאה, וצפו איך כל מושג משתנה בזמן אמת.
נקודה במערכת הצירים
כל נקודה נכתבת כזוג סדור (x, y): השיעור הראשון הוא המיקום האופקי והשני האנכי. הראשית היא (0, 0).
ההפרשים Δx ו-Δy
בין שתי נקודות מחשבים Δx = x₂ - x₁ ו-Δy = y₂ - y₁. שני מספרים אלה הם הבסיס לכל שאר הנוסחאות.
אורך קטע שאינו מקביל לצירים
מסמנים את הקטע, ומשלימים אותו למשולש ישר-זווית שניצביו מקבילים לצירים. אורכי הניצבים הם |Δx| ו-|Δy|, והקטע עצמו הוא היתר - ולכן משפט פיתגורס נותן את אורכו. בחטיבת הביניים זו הדרך, ולא נוסחה שלופה.
אורך קטע מקביל לציר
קטע המקביל לציר x - שתי הנקודות שלו חולקות את אותו y - ואורכו הוא |Δx| בלבד. באותו אופן קטע המקביל לציר y אורכו |Δy|. אלה הקטעים שאפשר למדוד בלי פיתגורס כלל.
שיפוע הישר
השיפוע מודד את התלילות: m = ΔyΔx = y₂ - y₁x₂ - x₁. שיפוע חיובי עולה, שלילי יורד.
מרובע לפי קדקודיו
מזהים מרובע לפי שיעורי קדקודיו, ומחשבים את שטחו. למלבן שצלעותיו מקבילות לצירים השטח הוא מכפלת אורכי הצלעות.
דוגמאות פתורות
שלוש דוגמאות, צעד אחר צעד. שימו לב לשיטה: מזהים את השיעורים, מחשבים את ההפרשים, ומציבים בנוסחה המתאימה.
- מזהים שיעורים: (x₁, y₁) = (0, 0) ו-(x₂, y₂) = (3, 4).
- משלימים למשולש ישר-זווית: הניצב האופקי |Δx| = 3, הניצב האנכי |Δy| = 4, והקטע הוא היתר.
- מפעילים את משפט פיתגורס: 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
- מחשבים: האורך הוא 25 = 5.
- אורך הקטע הוא 5.
- מחשבים את ההפרשים: Δx = 7 - 1 = 6 ו-Δy = 10 - 2 = 8.
- הניצבים והיתר: הניצבים הם 6 ו-8, והקטע הוא היתר.
- פיתגורס: 6² + 8² = 36 + 64 = 100, ולכן האורך הוא 10.
- אורך הקטע הוא 10.
- מזהים צלע אופקית: מ-(0, 0) ל-(4, 0) האורך הוא 4.
- מזהים צלע אנכית: מ-(0, 0) ל-(0, 3) האורך הוא 3.
- שטח מלבן: מכפלת הצלעות: 4 · 3 = 12.
- שטח המלבן הוא 12 יחידות ריבועיות.
תרגול אינטראקטיבי
תרגול מקיף, מחולק לשלבי הקושי (בסיס, ביניים, אתגר) ולסט מעורב. פתרו סט, ועברו לסט הבא עם החצים לעוד תרגול. בשאלות עם הקלדה אפשר לפתוח מקלדת מתמטית, ובכל שלב אפשר לפתוח את המחשבון של נדב כץ בכפתור שבפינה.
דרכים לתרגל את הדף הזה
המשחק בנוי מהשאלות ומאוצר המילים של הדף עצמו, ועוקב אחרי מה שכבר יושב לכם ומה שעוד לא. שאלה עולה דרגה כשעונים עליה נכון, ויורדת בטעות. ההתקדמות נשמרת במכשיר הזה בלבד.
הנקודות שכדאי לזכור
- 1קטע מקביל לציר: אורכו הוא הפרש השיעורים באותו כיוון - |Δx| לקטע אופקי, |Δy| לאנכי.
- 2קטע אלכסוני: משלימים משולש ישר-זווית שניצביו |Δx| ו-|Δy|, והקטע הוא היתר - ומפעילים את משפט פיתגורס.
- 3שיפוע: m = ΔyΔx. בחטיבת הביניים הוא משמש לקביעת הקבלה: שיפועים שווים ⟵ ישרים מקבילים.
- 4Δx ו-Δy: תמיד מחסירים באותו סדר: קצה שני פחות קצה ראשון.
- 5שטח מלבן: כשהצלעות מקבילות לצירים, השטח הוא אורך · רוחב.
